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高中数学:根号分解

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例子问题

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例子问题1:保理的激进分子

分解并简化下面的根式:

$\sqrt[4]{81x^6y^5z^{10}}$

可能的答案:

$3xy^2z^2\sqrt[4]{x^2yz^2}$

$3xyz^2\sqrt[4]{x^2yz^2}$

$3x^2yz^2\sqrt[4]{x^2yz^2}$

$3xyz\sqrt[4]{x^2yz^2}$

$3xyz^2\sqrt[4]{x^2y^2z^2}$

正确答案:

$3xyz^2\sqrt[4]{x^2yz^2}$

解释：

从整数因式分解开始:

$\sqrt[4]{81x^6y^5z^{10}}$

$\sqrt[4]{3^4x^6y^5z^{10}}$

$3\sqrt[4]{x^6y^5z^{10}}$

现在，化简指数:

$3\sqrt[4]{x^4x^2y^4yz^{4}z^4z^2}$

$3xyzz\sqrt[4]{x^2yz^2}$

$3xyz^2\sqrt[4]{x^2yz^2}$

例子问题1:简化激进分子

分解并简化下面的根式:

$\sqrt[3]{(3n-2)^3}$

可能的答案:

3n-2

(3n-2)^3

(3n-2)^2

n-2

3n+2

正确答案:

3n-2

解释：

首先将根号转换成指数形式:

$\sqrt[3]{(3n-2)^3}$

$(3n-2)^3^{(\frac{1}{3})}$

现在，把指数相乘:

3n-2

例子问题3:保理的激进分子

分解并简化下面的根式:

$\sqrt[4]{18a^3bc^5}\cdot \sqrt[4]{27a^2b^6c}$

可能的答案:

$3ab^2c\sqrt[4]{6ab^3c^2}$

$3abc^2\sqrt[4]{6ab^3c^2}$

$3abc\sqrt[4]{6ab^3c^2}$

$3abc\sqrt[4]{6a^2b^3c^2}$

$3a^2bc\sqrt[4]{6ab^3c^2}$

正确答案:

$3abc\sqrt[4]{6ab^3c^2}$

解释：

首先将根号转换成指数形式:

$\sqrt[4]{18a^3bc^5}\cdot \sqrt[4]{27a^2b^6c}$

$(18a^3bc^5)^{\frac{1}{4}}\cdot ({27a^2b^6c})^{\frac{1}{4}}$

现在，结合这些基础:

$(486a^5b^7c^6)^{\frac{1}{4}}$

简化整数:

$(2\cdot 3\cdot 3^4a^5b^7c^6)^{\frac{1}{4}}$

现在，化简指数:

$(2\cdot 3\cdot 3^4aa^4b^3b^4c^2c^4)^{\frac{1}{4}}$

转换回激进形式并简化:

$\sqrt[4]{2\cdot 3\cdot 3^4aa^4b^3b^4c^2c^4}$

$3abc\sqrt[4]{2\cdot 3ab^3c^2}$

$3abc\sqrt[4]{6ab^3c^2}$

问题4:保理的激进分子

分解并简化下面的根式:

$\frac{3-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+3}$

可能的答案:

$5\sqrt{3}-7$

$2\sqrt{3}-7$

$4\sqrt{3}-7$

$3\sqrt{3}-7$

$6\sqrt{3}-7$

正确答案:

$4\sqrt{3}-7$

解释：

首先，分子分母同时乘以分母的补:

$\frac{3-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+3} \cdot \frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}-3}$

使用FOIL方法将自由基相乘。F(前)O(外)I(内)L(后)

$\frac{6\sqrt{3}-9-12+6\sqrt{3}}{12-6\sqrt{3}+6\sqrt{3}-9}$

现在，把类似的术语组合起来:

$\frac{12\sqrt{3}-21}{3}$

简化:

$4\sqrt{3}-7$

例子问题1:保理的激进分子

分解并简化下面的根式:

$\sqrt{\frac{1}{5}}-2\sqrt{20}+3\sqrt{5}$

可能的答案:

$\frac{4\sqrt{5}}{3}$

$\frac{-4\sqrt{3}}{3}$

$\frac{-4\sqrt{5}}{3}$

$\frac{-4\sqrt{5}}{5}$

$\frac{-4\sqrt{3}}{5}$

正确答案:

$\frac{-4\sqrt{5}}{5}$

解释：

从分解根号开始:

$\sqrt{\frac{1}{5}}-2\sqrt{20}+3\sqrt{5}$

$\sqrt{\frac{1}{5}}-4\sqrt{5}+3\sqrt{5}$

结合类似的术语:

$\sqrt{\frac{1}{5}}-\sqrt{5}$

左边乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 右边靠 $\frac{5}{5}$

$\frac{1}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}$

$\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}\cdot\frac{5}{5}$

$\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{5\sqrt{5}}{5}$

$\frac{-4\sqrt{5}}{5}$

例子问题1:简化激进分子

分解并简化下面的根式:

$\sqrt[4]{24a^2b^3c^5}\cdot\sqrt[4]{48a^3b^3c^6}$

可能的答案:

$2abc^2\sqrt[4]{72a^2b^2c^3}$

$2a^2bc^2\sqrt[4]{72ab^2c^3}$

$2ab^2c^2\sqrt[4]{72ab^2c^3}$

$2abc\sqrt[4]{72ab^2c^3}$

$2abc^2\sqrt[4]{72ab^2c^3}$

正确答案:

$2abc^2\sqrt[4]{72ab^2c^3}$

解释：

首先将根号转换成指数形式:

$\sqrt[4]{24a^2b^3c^5}\cdot\sqrt[4]{48a^3b^3c^6}$

$(24a^2b^3c^5)^{\frac{1}{4}}\cdot(48a^3b^3c^6)^{\frac{1}{4}}$

$(3\cdot 2^3a^2b^3c^5)^{\frac{1}{4}}\cdot(3\cdot 2^4a^3b^3c^6)^{\frac{1}{4}}$

现在，结合这些基础:

$(3^2\cdot 2^7a^5b^6c^{11})^{\frac{1}{4}}$

$(3^2\cdot 2^7aa^4b^2b^4c^3c^{8})^{\frac{1}{4}}$

转换回激进形式并简化:

$\sqrt[4]{3^2\cdot 2^7aa^4b^2b^4c^3c^{8}}$

$2abc^2\sqrt[4]{3^22^3ab^2c^3}$

$2abc^2\sqrt[4]{72ab^2c^3}$

例子问题1:保理的激进分子

分解并简化下面的根式:

$\sqrt{3mn}+\sqrt{27m^3n}$

可能的答案:

$(1+2m)\sqrt{2mn}$

$(1+m)\sqrt{3mn}$

$(1+2m)\sqrt{3mn}$

$(1+m)\sqrt{mn}$

$(1+3m)\sqrt{3mn}$

正确答案:

$(1+3m)\sqrt{3mn}$

解释：

从简化有理表达式的右边开始:

$\sqrt{3mn}+\sqrt{27m^3n}$

$\sqrt{3mn}+3m\sqrt{3mn}$

$1\sqrt{3mn}+3m\sqrt{3mn}$

现在，把类似的术语组合起来:

$(1+3m)\sqrt{3mn}$

例8:保理的激进分子

分解并简化下面的根式:

$(4-\sqrt{3})(6-\sqrt{3})$

可能的答案:

$27-10\sqrt{3}$

$18-7\sqrt{3}$

$3-10\sqrt{3}$

$18-10\sqrt{3}$

$9-10\sqrt{3}$

正确答案:

$27-10\sqrt{3}$

解释：

首先使用FOIL方法将根式相乘。F(前)O(外)I(内)L(后)

$(4-\sqrt{3})(6-\sqrt{3})$

$24-4\sqrt{3}-6\sqrt{3}+3$

现在，把类似的术语组合起来:

$27-10\sqrt{3}$

问题9:保理的激进分子

分解并简化下面的根式:

$\sqrt[3]{\frac{2}{5n}}$

可能的答案:

$\frac{\sqrt[3]{50n^2}}{5n}$

$\frac{\sqrt[3]{30n^2}}{5n}$

$\frac{\sqrt[3]{50n^2}}{3n}$

$\frac{\sqrt[3]{30n^2}}{3n}$

$\frac{\sqrt[3]{40n^2}}{5n}$

正确答案:

$\frac{\sqrt[3]{50n^2}}{5n}$

解释：

首先分子分母同时乘以 $\frac{\sqrt[3]{(5n)^2}}{\sqrt[3]{(5n)^2}}$ ：

$\sqrt[3]{\frac{2}{5n}}$

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{5n}}\cdot$ $\frac{\sqrt[3]{(5n)^2}}{\sqrt[3]{(5n)^2}}$

$\frac{\sqrt[3]{50n^2}}{5n}$

这个表达式不能再简化了。

例子问题10:保理的激进分子

分解并简化下面的根式:

$\frac{2-\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$

可能的答案:

$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$

$\frac{3-2\sqrt{2}}{3}$

$\frac{2-3\sqrt{2}}{2}$

$\frac{3-3\sqrt{2}}{2}$

$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

正确答案:

$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

解释：

首先，分子分母同时乘以分母的补:

$\frac{2-\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$

$\frac{2-\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} \cdot \frac{4-2\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}$

$\frac{8-4\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{16-8}$

结合类似的术语并简化:

$\frac{12-8\sqrt{2}}{8}$

$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

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