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例子问题

例子问题1:理解泰勒级数

给 $x^{2}$ 函数的麦克劳林级数的项 $f \left ( x\right ) = \frac{1}{x-2}$

可能的答案:

$-\frac{1}{2} x^{2}$

$-\frac{1}{8} x^{2}$

$-\frac{1}{4} x^{2}$

$-\frac{1}{12} x^{2}$

$-\frac{1}{6} x^{2}$

正确答案:

$-\frac{1}{8} x^{2}$

解释：

的 $x^{2}$ 函数的麦克劳林级数的项有系数 $\frac{f '' (0) }{2!} = \frac{f '' (0) }{2}$

的二阶导数可以找到如下:

$f \left ( x\right ) = \frac{1}{x-2} = (x-2) ^{-1}$

$f' \left ( x\right ) = -1\cdot (x-2)^{-2} = -1(x-2)^{-2}$

$f'' \left ( x\right ) = (-2) ( -1(x-2)^{-3}) = 2(x-2)^{-3} = \frac{2}{(x-2)^{3}}$

$f'' \left ( 0 \right ) =\frac{2}{(0-2)^{3}} = -\frac{1}{4}$

的系数 $x^{2}$ 因此，在麦克劳林系列中

$\frac{f '' (0) }{2} = \frac{-\frac{1}{4}}{2} = - \frac{1}{8}$

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例子问题2:系列微积分

给 (x-1)^2 函数的泰勒级数展开项 $f (x) = \log_5 x$ 关于 x = 1 ．

可能的答案:

$\frac{1}{ \ln 25 } (x-1)^{2}$

$\frac{2}{ \ln 5 } (x-1)^{2}$

$\frac{\ln 5}{ 2 } (x-1)^{2}$

$- \frac{1}{ \ln 25 } (x-1)^{2}$

$\ln 25\cdot (x-1)^{2}$

正确答案:

$- \frac{1}{ \ln 25 } (x-1)^{2}$

解释：

的 $(x-1)^{2}$ 关于泰勒级数展开的项 x = 1 是

$\frac{f ' ' (1)}{2!} (x-1)^{2}= \frac{f ' ' (1)}{2}(x-1)^{2}$ ．

我们可以找到 f''(x) 通过连续求导两次:

$f (x) = \log_5 x$

$f'(x) = \frac{1}{x \ln 5}$

$f'(x) =\frac{1}{ \ln 5} \cdot x^{-1}$

$f''(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (\frac{1}{ \ln 5} \cdot x^{-1} \right )$

$f''(x) =\frac{1}{ \ln 5}\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x^{-1} \right )$

$f''(x) =\frac{1}{ \ln 5} \cdot \left ( -1 \cdot x^{-2} \right )$

$f''(x) =- \frac{1}{ \ln 5 \cdot x^{2}}$

$f''(1) =- \frac{1}{ \ln 5 \cdot 1^{2}} = - \frac{1}{ \ln 5 }$

因此, (x-1)^2 项是 $\frac{f''(1) }{2} \; (x-1)^{2} = - \frac{1}{2 \ln 5 } (x-1)^{2} = - \frac{1}{ \ln 25 } (x-1)^{2}$

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例子问题1:理解麦克劳林级数

给 $x^{4}$ 麦克劳林级数展开函数的项 $f(x) = x \tan^{-1} x$ ．

可能的答案:

$- \frac{1}{3} x^{4 }$

$- \frac{3}{4} x^{4 }$

$- \frac{1}{12} x^{4 }$

$- \frac{1}{4} x^{4 }$

正确答案:

$- \frac{1}{3} x^{4 }$

解释：

这可以很容易地通过回忆麦克劳林系列来回答 $\tan^{-1} x$ 是

$\tan^{-1} x = x - \frac{1}{3} x^{3 } + \frac{1}{5} x^{5 }...$

乘以得到:

$x\tan^{-1} x = x\cdot x - x\cdot \frac{1}{3} x^{3 } + x\cdot \frac{1}{5} x^{5 }...$

$x \tan^{-1} x=x^{2 } - \frac{1}{3} x^{4 } + \frac{1}{5} x^{6 }...$

的 $x^{4}$ 因此术语 $- \frac{1}{3} x^{4 }$ ．

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例子问题1:泰勒和麦克劳林系列

给 $x^ {3}$ 函数的麦克劳林级数的项 $f(x) = \sinh 3x$ ．

可能的答案:

$-\frac{9}{2} x^{3}$

$\frac{9}{2} x^{3}$

$-9x^{3}$

$9x^{3}$

正确答案:

$\frac{9}{2} x^{3}$

解释：

的 $x^ {3}$ 麦克劳林级数展开项有系数

$\frac{f ' '' (0)}{3!} = \frac{f ' '' (0)}{6}$ ．

我们可以找到 f'''(x) 通过连续求导三次:

$f(x) = \sinh 3x$

$f'(x) = 3 \cosh 3x$

$f''(x) = 3\cdot 3\sinh 3x = 9\sinh 3x$

$f'''(x) = 9 \cdot 3\cosh 3x = 27 \cosh 3x$

$f'''(0) = 27 \cosh \left (3 \cdot 0 \right ) = 27 \cosh 0 = 27\cdot 1 = 27$

我们想要的术语是

$\frac{f ' '' (0)}{6} \cdot x^{3} = \frac{27}{6} \cdot x^{3} = \frac{9}{2} x^{3}$

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示例问题2251:高中数学

给 $x^{2}$ 麦克劳林级数展开函数的项 $f (x) = 7 ^{x}$ ．

可能的答案:

$\frac{\left ( \ln 7 \right )^{2}}{2} x^{2}$

$\left (2 \ln 7 \right )x^{2}$

$\frac{e^{7}}{2}x^{2}$

$\frac{ \ln 7}{2}x^{2}$

$\frac{7}{2}x^{2}$

正确答案:

$\frac{\left ( \ln 7 \right )^{2}}{2} x^{2}$

解释：

的 $x^{2}$ 麦克劳林级数展开项有系数

$\frac{f ' ' (0)}{2!} = \frac{f ' ' (0)}{2}$ ．

我们可以找到 f''(x) 通过连续求导两次:

$f (x) = 7^{x}$

$f ' (x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( 7^{x} \right )= \ln 7 \cdot 7^{x}$

$f ' '(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left (\ln 7 \cdot 7^{x} \right )$

$f ' '(x)= \ln 7\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left ( 7^{x} \right )$

$f ' '(x)= \ln 7\cdot \ln 7\cdot 7^{x}$

$f ' '(x)=\left ( \ln 7 \right )^{2} \cdot 7^{x}$

$f ' '(0)=\left ( \ln 7 \right )^{2} \cdot 7^{0} = \left ( \ln 7 \right )^{2} \cdot 1 = \left ( \ln 7 \right )^{2}$

我们想要的系数是

$\frac{f ' ' (0)}{2} =\frac{\left ( \ln 7 \right )^{2}}{2}$ ，

对应的项是 $\frac{\left ( \ln 7 \right )^{2}}{2} x^{2}$ ．

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