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《高中数学:极限

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例子问题

问题3:微积分I -导数

计算 $\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sin \left (2x^{2}-2 \right ) }{x^{2}-1}$ ．

可能的答案:

这个极限不存在。

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

替代 $u = 2x^{2} - 2$ 用u来代替x来重写这个极限。在分数的上下同时乘以2来做这个替换:

(注意, $x \rightarrow1$ ， $u \rightarrow 0$ )。

$\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sin \left (2x^{2}-2 \right ) }{x^{2}-1}$

$=2 \cdot \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sin \left (2x^{2}-2 \right ) }{2\left (x^{2}-1 \right )}$

$= 2 \cdot \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sin \left (2x^{2}-2 \right ) }{2x^{2}-2 \right )}$

$= 2 \cdot \lim_{u \rightarrow 0}\frac{\sin u } {u}$

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin u }{u} = 1$ ,所以

$2 \cdot \lim_{u \rightarrow 0}\frac{\sin u } {u} = 2\cdot1 = 2$ ，因此这是正确的选项。

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问题1:计算的限制

计算 $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 4 x^{2} }{x^{2}}$

可能的答案:

这个极限不存在。

正确答案:

解释：

你可以用 $u = 4x^{2}$ 可以这样写:

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 4 x^{2} }{x^{2}}$

$= \lim_{x \rightarrow 0}\left (4 \cdot \frac{\sin 4 x^{2} }{4x^{2}} \right )$

$=4 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4 x^{2} }{4x^{2}}$

$=4 \lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin u }{u}$

请注意,如 $x \rightarrow 0$ ， $u = 4x^{2} \rightarrow 0$

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin u }{u}$ ，因为这个分数变得不确定，我们需要对这个分数的上下同时求导。

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin u }{u}=\frac{(\sin u)'}{u'}=\frac{\cos u}{1}=\cos u$

$4\lim_{u\rightarrow 0}\cos u=4\cdot \cos(0)=4\cdot 1$

$4 \lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin u }{u} = 4 \cdot 1 = 4$ ，这是正确的选择。

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