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高中数学:应用正弦定律

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例子问题

例子问题2:三角形

Rt_triangle_letters
在这个图中，是角度 $a=30^\circ$ 和侧 Z=15 ．如果角 $b=45^\circ$ ，边的长度是多少?

可能的答案:

7.5

$\frac{15\sqrt{2}}{2}$

$30\sqrt{2}$

$15\sqrt{2}$

正确答案:

$15\sqrt{2}$

解释：

对于这个问题，可以使用正弦定律:

$\frac{\text{side opposite }a}{\sin(a)}=\frac{\text{side opposite }b}{\sin(b)}=\frac{\text{side opposite }c}{\sin(c)}$ ．

在本例中，我们有可以插入的值:

$\frac{\text{side opposite }a}{\sin(a)}=\frac{\text{side opposite }b}{\sin(b)}$

$\frac{Z}{\sin(a)}=\frac{Y}{\sin{(b)}}$

$\frac{15}{\sin(30^\circ)}=\frac{Y}{\sin{(45^\circ)}}$

$\frac{15}{\frac{1}{2}}=\frac{Y}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

交叉相乘:

$15*\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}Y$

两边同时乘以：

$15\sqrt{2}=Y$

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例子问题1:应用正弦定律

Rt_triangle_letters

在这张图中 $a=22^\circ$ 而且 $c=85^\circ$ ．如果 X=30 ，什么是?

可能的答案:

30.09

0.374

0.997

11.28

20.1

正确答案:

11.28

解释：

对于这个问题，可以使用正弦定律:

$\frac{\text{side opposite }a}{\sin(a)}=\frac{\text{side opposite }b}{\sin(b)}=\frac{\text{side opposite }c}{\sin(c)}$ ．

在本例中，我们有可以插入的值:

$\frac{\text{side opposite }a}{\sin(a)}=\frac{\text{side opposite }c}{\sin(c)}$

$\frac{Z}{\sin(a)}=\frac{X}{\sin{(c)}}$

$\frac{Z}{\sin(22^\circ)}=\frac{30}{\sin{85^\circ}}$

$\frac{Z}{0.375}=\frac{30}{0.997}$

$\frac{Z}{0.375}=30.09$

Z=30.09*0.375

Z=11.28

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例子问题1:正弦定律

在 $\Delta ABC$ ， $m \angle A = 75^{\circ }$ ， $m \angle B = 62^{\circ }$ , BC = 16 ．到最接近的十分之一，是什么?

可能的答案:

17.5

11.3

14.6

27.9

22.7

正确答案:

11.3

解释：

因为我们已知想要找到，我们应用正弦定律，它部分地说明，

$\frac{ \sin m \angle A}{B C} = \frac{ \sin m \angle C}{AB}$

$m \angle A = 75^{\circ }$ 而且

$m \angle C = 180 - \left ( m \angle A + m \angle B \right )= 180 -(75+ 62) = 180 -137 = 43^{\circ }$

代入上式:

$\frac{ \sin75^{\circ }}{16} = \frac{ \sin 43^{\circ }}{AB}$

交叉相乘，解出：

$AB\cdot \sin75^{\circ } = 16 \cdot \sin 43^{\circ }$

$AB = \frac{16 \cdot \sin 43^{\circ }}{\sin75^{\circ }} = \frac{16 \cdot \0.6820}{0.9659} \approx 11.3$

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问题4:正弦定律

在 $\Delta ABC$ ， $m \angle A = 66^{\circ }$ ， AB = 16 , BC = 23 ．到最接近的十分之一，是什么 $m \angle C$ ?

可能的答案:

$73.6^{\circ } \textrm{ or }106.4^{\circ }$

$73.6^{\circ }$

$39.5^{\circ } \textrm{ or } 140.5^{\circ }$

$39.5^{\circ }$

任何三角形都不可能具有这些特征。

正确答案:

$39.5^{\circ }$

解释：

因为我们已知 $m \angle A$ ，,，并想要找到 $m \angle C$ ，我们应用正弦定律，它部分地说明，

$\frac{ \sin m \angle C}{AB} = \frac{ \sin m \angle A}{B C}$ ．

代入并求解 $\sin m \angle C$ ：

$\frac{ \sin m \angle C}{16} = \frac{ \sin 66^{\circ }}{23}$

$\frac{ \sin m \angle C}{16} \cdot 16= \frac{ \sin 66^{\circ }}{23}\cdot 16$

$\sin m \angle C = \frac{ \sin 66^{\circ }}{23}\cdot 16 \approx \frac{ 0.9135}{23}\cdot 16\approx 0.6355$

取sin0.6355的反正弦值:

$m \angle C = \sin^{-1} 0.6355 \approx 39.5^{\circ }$

有两个夹角 $0^{\circ }$ 而且 $180^{\circ }$ 除了1，任何给定的正正弦我们通过减去前面的结果得到另一个 $180^{\circ }$ ：

$180 - 39.5 = 140.5^{\circ }$

然而，这是不可能的，因为这将导致三角形测量值的和大于 $180^{\circ }$ ．这使得 $39.5^{\circ }$ 作为唯一可能的答案。

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例子问题1:应用正弦定律

Rt_triangle_letters

在这个图中，是角度 $a=30^\circ$ ．如果一方 Z =12 而且 Y=20 ，角度的值是多少?

可能的答案:

$56.44^\circ$

$90^\circ$

$24^\circ$

$0.83^\circ$

未定义的

正确答案:

$56.44^\circ$

解释：

对于这个问题，可以使用正弦定律:

$\frac{\text{side opposite }a}{\sin(a)}=\frac{\text{side opposite }b}{\sin(b)}=\frac{\text{side opposite }c}{\sin(c)}$ ．

在本例中，我们有可以插入的值:

$\frac{\text{side opposite }a}{\sin(a)}=\frac{\text{side opposite }b}{\sin(b)}$

$\frac{Z}{\sin(a)}=\frac{Y}{\sin{(b)}}$

$\frac{12}{\sin(30^\circ)}=\frac{20}{\sin{(b)}}$

$24=\frac{20}{\sin(b)}$

$\sin(b)=\frac{20}{24}$

$b=\sin^{-1}(\frac{20}{24})$

$b=56.44^\circ$

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例子问题1:应用正弦定律

Rt_triangle_letters 在这个图中，if角 $a=18.5^\circ$ 、侧 Z =30.2 ，和侧面 Y=17.2 ，角度的值是多少?

(注:图不一定按比例绘制。)

可能的答案:

$33.6^\circ$

$71.5^\circ$

$10.41^\circ$

未定义的

$61.22^\circ$

正确答案:

$10.41^\circ$

解释：

首先，注意到这个图形显然不是按比例绘制的。现在，我们可以用正弦定律来求解:

$\frac{\text{side opposite }a}{\sin(a)}=\frac{\text{side opposite }b}{\sin(b)}=\frac{\text{side opposite }c}{\sin(c)}$ ．

在本例中，我们有可以插入的值:

$\frac{\text{side opposite }a}{\sin(a)}=\frac{\text{side opposite }b}{\sin(b)}$

$\frac{Z}{\sin(a)}=\frac{Y}{\sin{(b)}}$

$\frac{30.2}{\sin(18.5^\circ)}=\frac{17.2}{\sin{(b)}}$

$95.18=\frac{17.2}{\sin(b)}$

$\sin(b)=\frac{17.2}{95.18}$

$b=\sin^{-1}(\frac{17.2}{95.18})$

$b=10.41^\circ$

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