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例子问题

例子问题1:比较收敛速度

p的值

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$

收敛吗?

可能的答案:

只有 p > 1

它对任意值都不收敛

p=2

的所有正值

正确答案:

只有 p > 1

解释：

我们可以用积分判别法很简单地解决这个问题。我们知道如果

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$

收敛，级数收敛。

我们可以把积分写成

$\int x^{-p} dx$

然后用幂函数的不定积分公式得到积分等于

$\frac{x^{1-p}}{1-p} \Big|_{x=1}^\infty$ ．

我们知道只有当 1-p < 0 ．两边同时减去p，得到

1 < p ．

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例子问题1:辛普森法则

求积分

$\int_{1}^{5}{\frac{1}{x-7}}dx$

使用辛普森法则 2n=10 小区间。

可能的答案:

-1.0987

-0.1667

-8.2400

-1.6667

-0.500

正确答案:

-1.0987

解释：

辛普森法则是用这个公式求解的

$\int_{a}^{b}f(x))dx =S_{2m}=\frac{1}{3}(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+4f(1)+2f(2)+...+2f(m-2)+4f(m-1)+f(m) \right ]$

在哪里子区间的个数和 f(m) 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{2n})=(\frac{5-1}{10})=0.4$ ．

每个近似项的值如下。

屏幕截图2015 06 11晚上9点35分50分

所有近似项的和是 -8.23995 因此

$(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]=(0.4)*(-8.23995)=-1.0987$

报告错误

例子问题2:辛普森法则

求积分

$\int_{8}^{15}{ln(x)}dx$

使用辛普森法则 2n=10 小区间。

可能的答案:

10.2289

8.6532

2.0794

16.9852

10.6410

正确答案:

16.9852

解释：

辛普森法则是用这个公式求解的

$\int_{a}^{b}f(x))dx=S_{2m}=\frac{1}{3}(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+4f(1)+2f(2)+...+2f(m-2)+4f(m-1)+f(m) \right ]$

在哪里子区间的个数和 f(m) 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{2n})=(\frac{15-8}{10})=0.7$ ．

每个近似项的值如下。

屏幕截图2015 0611晚上9点35分58秒

所有近似项的和是 72.79378 因此

$(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]=(0.7)*(72.79378)=16.9852$

报告错误

例子问题1:辛普森法则

求积分

$\int_{-1}^{1}{\frac{1}{2+cos(x)}}dx$

使用辛普森法则 2n=10 小区间。

可能的答案:

10.9830

10.5872

0.7056

0.3948

1.2340

正确答案:

0.7056

解释：

辛普森法则是用这个公式求解的

$\int_{a}^{b}f(x))dx =S_{2m}=\frac{1}{3}(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+4f(1)+2f(2)+...+2f(m-2)+4f(m-1)+f(m) \right ]$

在哪里子区间的个数和 f(m) 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{2n})=(\frac{1+1}{10})=0.2$ ．

每个近似项的值如下。

屏幕截图2015 0611晚上9点36分10分

所有近似项的和是 10.5840 因此

$(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]=(0.2)*(10.5840)=0.7056$

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问题4:辛普森法则

求积分

$\int_{0}^{9}{\frac{1}{1+e^{x}}}dx$

使用辛普森法则 2n=10 小区间。

可能的答案:

0.6924

1.2369

0.3482

0.6599

0.8829

正确答案:

0.6924

解释：

辛普森法则是用这个公式求解的

$\int_{a}^{b}f(x))dx\approx S_{2m}=\frac{1}{3}(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+4f(1)+2f(2)+...+2f(m-2)+4f(m-1)+f(m) \right ]$

在哪里子区间的个数和 f(m) 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{2n})=(\frac{9-0}{10})=0.9$ ．

每个近似项的值如下。

屏幕截图2015 0611晚上9点36分20

所有近似项的和是 2.3081 因此

$(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]=(0.9)*(2.3081)=0.6924$

报告错误

例子问题1:梯形法则

求积分

$\int_{2}^{7}{\frac{1}{5x+3}}dx$

用梯形近似 n=5 小区间。

可能的答案:

0.5233

0.7601

0.8603

0.4301

0.9548

正确答案:

0.4301

解释：

用公式求解梯形近似

$\int_{a}^{b}f(x))dx\approx T_{n}=(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]$

在哪里子区间的个数和 f(m) 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{2n})=(\frac{7-2}{2*5})=0.5$ ．

每个近似项的值如下。

屏幕截图2015 0611晚上8点19分15秒

所有近似项的和是 0.86027754 ,因此

$(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]=(0.5)*(0.86027754)=0.4301$

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例子问题2:梯形法则

求积分

$\int_{1}^{2}{x\sin (x)}dx$

用梯形近似 n=5 小区间。

可能的答案:

28.7867

2.8787

0.8415

2.5052

正确答案:

2.8787

解释：

用公式求解梯形近似

$\int_{a}^{b}f(x))dx\approx T_{n}=(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]$

在哪里子区间的个数和 f(m) 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{2n})=(\frac{2-1}{2*5})=0.1$ ．

每个近似项的值如下。

屏幕截图2015 06 11晚上8点32分39分

所有近似项的和是 28.7867 ,因此

$(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]=(0.1)*(28.786699)=2.8787$

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例子问题3:梯形法则

求积分

$\int_{0}^{4}{\sqrt{5+x^{^{3}}}}dx$

用梯形近似 n=5 小区间。

可能的答案:

14.3744

33.5582

5.0000

2.3547

83.8900

正确答案:

33.5582

解释：

用公式求解梯形近似

$\int_{a}^{b}f(x))dx\approx =T_{n}=(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]$

在哪里子区间的个数和 f(m) 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{2n})=(\frac{4-0}{2*5})=0.4$ ．

每个近似项的值如下。

屏幕截图2015 06 11晚上8点55分34秒

所有近似项的和是 83.89553 ,因此

$(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]=(0.4)*(83.89553)=33.5582$

报告错误

例子问题2:梯形法则

求积分

$\int_{1}^{2}{\sqrt{ln(x)}}dx$

用梯形近似 n=5 小区间。

可能的答案:

11.7257

0.6174

1.1726

0.8326

正确答案:

1.1726

解释：

用公式求解梯形近似

$\int_{a}^{b}f(x))dx\approx T_{n}=(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]$

在哪里子区间的个数和 f(m) 是在中点处求值的函数。

对于这个问题， $(\frac{b-a}{2n})=(\frac{2-1}{2*5})=0.1$ ．

每个近似项的值如下。

屏幕截图2015 06 11晚上8点55分45分

所有近似项的和是 11.7257431 ,因此

$(\frac{b-a}{2n})\left [ f(0)+2f(1)+...+f(m-1)+f(m) \right ]=(0.1)*(11.7257431)=1.1726$

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例子问题1:梯形法则

评估 $\int_{0}^{2} x^{x^{2}} dx$ 使用梯形法则，n = 2。

可能的答案:

8.5

2.0

5.0

16.0

9.0

正确答案:

9.0

解释：

1) n = 2表示2个相等的细分。在本例中，它们分别是0到1和1到2。

2)梯形法则为: $\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \left [ b-a\right ]\left [ \frac{f(a)+f(b)}{2}\right ]$

3)对于n = 2: $\int_{0}^2 x^{x^{2}} dx \approx [1-0]\left [ \frac{f(0)+f(1)}{2} \right ]+ [2-1]\left [ \frac{f(1)+f(2)}{2} \right ]$

4)简化: $\int_{0}^2 x^{x^{2}} dx \approx [1]\left [ \frac{0+1}{2} \right ]+ [1]\left [ \frac{1+16}{2} \right ] = \frac{1}{2}+\frac{17}{2} = \frac{18}{2} = 9.$

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加州大学伯克利分校，文学学士，数学。波特兰州立大学，理科硕士，数学。

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