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例子问题

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示例问题21:线性代数

计算以下向量的点积:

$a=\left \langle c,6, s\right \rangle$

$b=\left \langle c,10,s\right \rangle$

可能的答案:

2cs+60

2c+16+2s

c^2+60+s^2

c^2+16+s^2

60c^2s^2

正确答案:

c^2+60+s^2

解释：

写出所给点积的公式 $a=\left \langle a_{1},a_{2},a_{3}\right \rangle$ 而且 $b=\left \langle b_{1},b_{2},b_{3}\right \rangle$ ．

$a\cdot b= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

代入向量的值来确定点积。

$a\cdot b= c(c)+(6)(10)+s(s) = c^2+60+s^2$

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例子问题1:向量形式

表达 -i-k 向量形式。

可能的答案:

$\left \langle -1,1,-1\right \rangle$

$\left \langle -1,-1\right \rangle$

$\left \langle -1,-1,0\right \rangle$

$\left \langle 0,-1,-1\right \rangle$

$\left \langle -1,0,-1\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle -1,0,-1\right \rangle$

解释：

向量x、y、z的正确形式分别按i、j、k的顺序表示。i,j, k的系数用来表示向量形式。

$-i-k = -1i+0j-1k = \left \langle -1,0,-1\right \rangle$

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例子问题1:向量与空间

表达 -10j 向量形式。

可能的答案:

$\left \langle 0,0,-10\right \rangle$

$\left \langle 0,-10,0\right \rangle$

$\left \langle -10,-10,-10\right \rangle$

$\left \langle -10,0,0\right \rangle$

$\left \langle 1,-10,1\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle 0,-10,0\right \rangle$

解释：

向量的x、y、z分别按i、j、k的顺序表示。用i j k的系数写出向量的形式。

$-10j=0i-10j+0k = \left \langle 0,-10,0\right \rangle$

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例子问题1:向量与空间

求出的向量形式 (6,3,1) 来 (0,1,3) ．

可能的答案:

$\overrightarrow{v}=[6,2,2]$

$\overrightarrow{v}=[-6,-2,-2]$

$\overrightarrow{v}=[6,2,-2]$

$\overrightarrow{v}=[6,-2,-2]$

$\overrightarrow{v}=[6,2,-3]$

正确答案:

$\overrightarrow{v}=[6,2,-2]$

解释：

当我们试着求向量形式的时候我们需要记住这个公式它表示求终点和起点的差。

因此，我们将得到:

鉴于 (a,b,c) 而且 (d,e,f)

$\overrightarrow{v}=[d-a, e-b, f-c]$

在我们的例子中，终点是 (6,3,1) 我们的起点是 (0,1,3) ．

因此，我们将建立以下并进行简化。

$\overrightarrow{v}=[6-0,3-1,1-3]=[6,2,-2]$

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问题4:向量形式

求这两个向量的点积。 $\left \langle a,2a\right \rangle \cdot \left \langle a,a\right \rangle$

可能的答案:

$\left \langle a^2,2a^2\right \rangle$

$\left \langle 3a^2,3a^2\right \rangle$

$\left \langle a,2a\right \rangle$

3a^2

正确答案:

3a^2

解释：

点积得到的结果是一个单一的值，而不是一个向量。

用下面的公式求点积:

$\left \langle x_1,x_2\right \rangle \cdot \left \langle y_1,y_2\right \rangle=(x_1)(y_1)+(x_2)(y_2)$

$\left \langle a,2a\right \rangle \cdot \left \langle a,a\right \rangle = (a)(a)+(2a)(a)=a^2+2a^2=3a^2$

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例5:向量形式

假设比利把自己从马戏团的大炮中射出速度是 $25 \:mph$ 仰角为度。把它写成向量分量的形式。

可能的答案:

$\left \langle 24.78,-3.309\right \rangle$

$\left \langle 50,50\right \rangle$

$\left \langle22.658,10.565 \right \rangle$

$\left \langle 25.25,25.25\right \rangle$

$\left \langle23.097, 9.567 \right \rangle$

正确答案:

$\left \langle22.658,10.565 \right \rangle$

解释：

大炮的发射有x和y两个分量。

写出区分x和y方向的公式并代入。

$\left \langle x,y\right \rangle= \left \langle vcos(\theta),vsin(\theta)\right \rangle$

在求解之前，确保计算器处于度数模式。

$\left \langle 25cos25,25sin25\right \rangle = \left \langle22.658,10.565 \right \rangle$

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例子问题6:向量形式

计算: $2\vec{a}-6\vec{b}$ 已知以下向量。 $\vec{a}= \left \langle 1,3\right \rangle$ 而且 $\vec{b}= \left \langle 1\right \rangle$ ．

可能的答案:

$\left \langle -4,3\right \rangle$

$\left \langle -4,0\right \rangle$

$\left \langle 1,2\right \rangle$

答案并不存在。

${}\left< \sqrt{13} \right \rangle$

正确答案:

答案并不存在。

解释：

向量的维数不匹配。

由于向量 $\vec{a}$ 没有相同的尺寸 $\vec{b}$ 的答案。 $2\vec{a}-6\vec{b}$ 无法解决。

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例子问题1:向量形式

它的向量形式是什么 2i-10k ?

可能的答案:

$\left \langle 2,0,-10\right \rangle$

$\left \langle -10,2,0\right \rangle$

$\left \langle 2,-10,0\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle 2,0,-10\right \rangle$

解释：

求的向量形式 2i-10k ，我们必须映射的系数，,对应的，,坐标。因此, 2i-10k 就变成了 $\left \langle 2,0,-10\right \rangle$ ．

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例8:向量形式

表达 -2i+7j-10k 向量形式。

可能的答案:

$\left \langle -2,7,-10\right \rangle$

$\left \langle 2,7,10\right \rangle$

$\left \langle 2,-7,10\right \rangle$

$\left \langle -2,-7,-10\right \rangle$

$\left \langle 2,7,-10\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle -2,7,-10\right \rangle$

解释：

为了表达 -2i+7j-10k 在向量形式中，我们必须使用的系数 i, j, 而且表示－，- - - - - -,-向量的坐标。

因此，它的向量形式是

$\left \langle -2,7,-10\right \rangle$ ．

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问题9:向量形式

表达 i+5k 向量形式。

可能的答案:

$\left \langle -1,5\right \rangle$

$\left \langle -1,-5\right \rangle$

$\left \langle 1,0,5\right \rangle$

$\left \langle 1,5\right \rangle$

$\left \langle -1,0,5\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle 1,0,5\right \rangle$

解释：

为了表达 i+5k 在向量形式中，我们必须使用的系数 i, j, 而且表示－，- - - - - -,-向量的坐标。

因此，它的向量形式是

$\left \langle 1,0,5\right \rangle$ ．

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