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GRE科目考试:数学:三角函数

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例子问题

例子问题1:三角函数

评估:

$\int\sin(75x)\cos(52x)dx$

可能的答案:

$-\frac{1}{46}\cos(23x)-\frac{1}{254}\cos(127x)+C$

$\frac{1}{46}\cos(75x)+\frac{1}{254}\cos(52x)+C$

$\frac{1}{2}\cos(23x)+\frac{1}{2}\cos(127x)+C$

$-\frac{1}{46}\sin(23x)-\frac{1}{254}\sin(127x)+C$

$\frac{1}{52}\sin^2(75x)\cos(52x)+C$

正确答案:

$-\frac{1}{46}\cos(23x)-\frac{1}{254}\cos(127x)+C$

解释：

计算这个积分需要使用“三角函数的积到和公式”:

$\sin(\alpha x)\cos(\beta x)=\frac{1}{2}[\sin((\alpha - \beta)x)+\sin((\alpha + \beta)x)]$

对于给定的积分，我们可以这样重写:

$\int \sin(75x)\cos(52x)dx\rightarrow \frac{1}{2}\int[\sin(23x)+\sin(127x)]dx$

这可以重写为两个独立的积分，并使用简单的替换来求解。

$\frac{1}{2}\int[\sin(23x)+\sin(127x)]dx\rightarrow \frac{1}{2}\int \sin(23x)dx+\frac{1}{2}\int\sin(127x)dx$

分别求解每个积分，有:

$\frac{1}{2}\int\sin(23x)dx\rightarrow u=23x, du=23dx$

$\frac{1}{23}du=dx$

将其代入积分得到:

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{23}\sin(u)du=-\frac{1}{46}\cos(u)+C\rightarrow -\frac{1}{46}\cos(23x)+C$

另一个积分用同样的方法求解:

$\frac{1}{2}\int\sin(127x)dx\rightarrow u=127x, du=127dx$

$\frac{1}{127}du=dx$

将其代入积分得到:

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{127}\sin(u)du=-\frac{1}{254}\cos(u)+C\rightarrow-\frac{1}{254}\cos(127x)+C$

现在把这两种说法结合在一起会得到其中一个答案选项:

$-\frac{1}{46}\cos(23x)-\frac{1}{254}\cos(127x)+C$

报告错误

问题71:微积分

评估:

$\int\sin^4(2x)\cos^5(2x)dx$

可能的答案:

$\frac{1}{5}\sin^9(2x)-\frac{2}{7}\sin^7(2x)+\frac{1}{9}\sin^5(2x)+C$

$\frac{1}{10}\cos^9(2x)-\frac{1}{7}\cos^7(2x)+\frac{1}{18}\cos^5(2x)+C$

$\frac{1}{18}\sin^9(2x)-\frac{1}{7}\sin^7(2x)+\frac{1}{10}\sin^5(2x)+C$

$\frac{1}{18}\cos^9(2x)-\frac{1}{7}\cos^7(2x)+\frac{1}{10}\cos^5(2x)+C$

$\frac{1}{10}\sin^9(2x)-\frac{1}{7}\sin^7(2x)+\frac{1}{18}\sin^5(2x)+C$

正确答案:

$\frac{1}{18}\sin^9(2x)-\frac{1}{7}\sin^7(2x)+\frac{1}{10}\sin^5(2x)+C$

解释：

这个积分可以很容易地计算，只要遵循正弦和余弦幂的积分规则。

但首先需要做一个替换:

$\int\sin^4(2x)\cos^5(2x)dx$

$u=2x;du=2dx\rightarrow\frac{1}{2}du=dx$

$\frac{1}{2}\int\sin^4(u)cos^5(u)du$

现在我们已经做了这个替换，我们将使用sin和cos的幂的积分规则:

一般来说:

$\int\sin^m(x)\cos^n(x)dx$

1.如果m是奇数，我们就做替换 $u=\sin(x)$ ，我们使用恒等式 $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ ．

2.如果n是奇数，我们就做替换 $u=\cos(x)$ ，我们使用恒等式 $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ ．

对于给定的问题，我们将使用第一条规则，并像这样修改积分:

$\frac{1}{2}\int\sin^4(u)\cos^5(u)du\rightarrow\frac{1}{2}\int\sin^4(u)\cos^4(u)\cos(u)du$

$\frac{1}{2}\int\sin^4(u)[\cos^2(u)]^2\cos(u)du\rightarrow\frac{1}{2}\int\sin^4(u)[1-\sin^2(u)]^2\cos(u)du$

$v=\sin(u);dv=\cos(u)du$

$\frac{1}{2}\int v^4[1-v^2]^2dv\rightarrow\frac{1}{2}\int v^4[1-2v^2+v^4]dv\rightarrow\frac{1}{2}\int (v^4-2v^6+v^8)dv$

$\frac{1}{2}[\frac{1}{5}v^5-\frac{2}{7}v^7+\frac{1}{9}v^9]+C\rightarrow\frac{1}{10}v^5-\frac{1}{7}v^7+\frac{1}{18}v^9+C$

现在我们需要代回v：

$\frac{1}{10}\sin^5(u)-\frac{1}{7}\sin^7(u)+\frac{1}{18}\sin^9(u)+C$

现在我们需要代回u，并重新排列，使其看起来像一个答案选项:

$\frac{1}{18}\sin^9(2x)-\frac{1}{7}\sin^7(2x)+\frac{1}{10}\sin^5(2x)+C$

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例子问题1:正弦

找到：

$sin(x^{\circ})=\frac{\sqrt2}{2}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

第一步:画一个 $45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ 三角形。

短边的长度是斜边的长度是 $\sqrt 2$ ．

第二步:寻找罪恶(角度A)

$sin(A)=sin(45^{\circ})=\frac {opp}{hyp}=\frac {1}{\sqrt 2}$

第三步:合理化底部的根:

$sin(45^{\circ})=\frac {1}{\sqrt 2}\cdot\frac {\sqrt 2}{\sqrt 2}=\frac {\sqrt 2}{2}$

x=45

报告错误

例子问题1:反三角函数

求导数 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} sin^{-1}(x)$

可能的答案:

$\frac{1}{\sqrt{1-x}}$

$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

正确答案:

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

解释：

反三角函数应该记住。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

其他常见的反三角函数有

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} tan^{-1}(x)=\frac{1}{1+x^2}$

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密苏里大学哥伦比亚分校，生物化学学士。华盛顿大学圣路易斯分校生物科学硕士

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亚利桑那州立大学，土木工程学士学位。

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旁遮普大学，数学学士。旁遮普大学，理科硕士，数学。

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