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GRE科目考试：数学：极限

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示例问题

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问题1:限制

评估: $\lim_{x \to 2} \frac {x-2}{x^2-4}$

可能的答案:

$\frac {1}{4}$

$-\frac {1}{4}$

$\frac {1}{2}$

定义/不限制

正确答案：

$\frac {1}{4}$

解释：

第一步：看看我们是否能插上电源 x=2 进入方程式。。

我们不能，因为分母变成．.

第二步:因式分解分母:

(x^2-4)=(x-2)(x+2) (通过完全平方差公式)

步骤3：重新编写函数：

$\frac {(x-2)}{[(x-2)(x+2)]}$

步骤4：除以 (x-2) 在分子和分母上，因为它很常见：

我们剩下: $\frac {1}{(x+2)}$

第五步:插入电源 x=2 ：

$\frac {1}{2+2}\implies \frac {1}{4}$

当x接近2时，此函数的极限为 $\frac {1}{4}$ ．

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问题1:医院规则

评估:

$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x \sin^{2} x}{2^{x} - 1}$

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

限制不存在。

$\infty$

正确答案：

解释：

让我们检查一下极限

$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x }{2^{x} - 1}$

第一。

$\lim_{x\rightarrow \infty }x= \lim_{x\rightarrow \infty } \left ( 2^{x} - 1 \right )= \infty$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x = 1$

和

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 2^{x} - 1 \right ) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( e^{ x \ln 2} - 1 \right )$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}e^{ x \ln 2} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} 1$

$=\ln 2 \cdot e^{ x \ln 2} - 0 = \ln 2 \cdot 2^{x}$ ，

根据L'Hospital的规定，

$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x }{2^{x} - 1} = \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{1 }{\ln 2 \cdot 2^{x}}$

自从 $\lim_{x\rightarrow \infty } \ln 2 \cdot 2^{x} = \infty$ ，

$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x }{2^{x} - 1} = \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{1 }{\ln 2 \cdot 2^{x}} = 0$

现在，每个 x > 0 ， $0 \leq \sin^{2} x \leq 1$ ；因此,

$0 \leq \frac{x \sin^{2} x}{2^{x} - 1} \leq \frac{x }{2^{x} - 1}$

通过夹逼定理，

$0 \leq \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x \sin^{2} x}{2^{x} - 1} \leq \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x }{2^{x} - 1} = 0$

和

$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x \sin^{2} x}{2^{x} - 1} = 0$

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示例问题#2：医院规则

评估:

$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{5^{x} - 1}{3^{x} - 1}$

可能的答案:

$\frac{5}{3}$

限制不存在。

$\ln \frac{5}{3}$

$\infty$

$\frac{\ln 5}{\ln 3}$

正确答案：

$\infty$

解释：

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 5^{x} - 1 \right ) = \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 3^{x} - 1 \right ) = \infty$

因此，根据洛必达法则，我们可以找到 $\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{5^{x} - 1}{3^{x} - 1}$ 通过对分子和分母的表达式求导

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 5^{x} - 1 \right ) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( e^{x \ln 5} - 1 \right )$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^{x \ln 5 } - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}1$

$=\ln 5\cdot e^{x \ln 5 } - 0 = \ln 5\cdot 5^{x }$

同样的,

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 3^{x} - 1 \right ) = \ln 3 \cdot 3 ^{x}$

所以

$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{5^{x} - 1}{3^{x} - 1} = \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{\ln 5 \cdot 5^{x} }{\ln 3 \cdot 3^{x} }$

$=\frac{\ln 5 }{\ln 3 } \cdot \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{ 5^{x} }{ 3^{x} }= \frac{\ln 5 }{\ln 3 } \cdot \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{ 5 }{ 3 } \right )^{x}$

但是 $\lim_{x\rightarrow \infty }a^{x} = \infty$ 对于任何 a > 1 所以

$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{5^{x} - 1}{3^{x} - 1}= \frac{\ln 5 }{\ln 3 } \cdot \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{ 5 }{ 3 } \right )^{x} = \infty$

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问题3:医院规则

评估:

$\lim_{x\rightarrow 0 } \frac{7^{x} - 1}{2^{x} - 1}$

可能的答案:

$\frac{1}{2}\ln 7$

限制不存在。

$\infty$

$\log_{2}7$

$\ln \frac{7}{2}$

正确答案：

$\log_{2}7$

解释：

$\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 7^{x} - 1 \right ) = 7^{0} - 1 = 1- 1 = 0$

和

$\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 2^{x} - 1 \right ) = 2^{0} - 1 = 1- 1 = 0$

因此，根据洛必达法则，我们可以找到 $\lim_{x\rightarrow 0 } \frac{7^{x} - 1}{2^{x} - 1}$ 通过对分子和分母的表达式求导

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 7^{x} - 1 \right ) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( e^{x \ln 7} - 1 \right )$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^{x \ln 7 } - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}1$

$=\ln 7\cdot e^{x \ln 7 } - 0 = \ln 7\cdot 7^{x }$

同样的,

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 2^{x} - 1 \right ) = \ln 2 \cdot 2 ^{x}$

所以

$\lim_{x\rightarrow 0 } \frac{7^{x} - 1}{2^{x} - 1} = \lim_{x\rightarrow 0 } \frac{ \ln 7\cdot 7^{x }}{ \ln 2\cdot 2^{x }}$

$= \frac{ \ln 7 \cdot 7^{0 }}{ \ln 2\cdot 2^{0 }} = \frac{ \ln 7\cdot 1}{ \ln 2\cdot 1} = \frac{ \ln 7}{ \ln 2 }= \log_{2}7$

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问题1:限制

评估:

$\lim_{x\rightarrow 0^{+} } \frac{x \sin x}{2^{x} - 1}$

可能的答案:

$\ln 2$

$\frac{1}{\ln2}$

正确答案：

解释：

$\lim_{x\rightarrow 0^{+} } x \sin x= 0 \cdot \sin 0 = 0$

和

$\lim_{x\rightarrow 0^{+} } \left ( 2 ^{x} - 1 \right )= 2^{0} -1 = 0$

因此，根据洛必达法则，我们可以找到 $\lim_{x\rightarrow 0^{+} } \frac{x \sin x}{2^{x} - 1}$ 通过对分子和分母的表达式求导

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x \sin x = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x \cdot \sin x + \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sin x \cdot x$

$= 1 \cdot \sin x + \cos x \cdot x = \sin x + x \cos x$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 2^{x} - 1 \right ) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( e^{x \ln 2} - 1 \right )$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^{x \ln 2} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} 1$

$= \ln 2\cdot e^{x \ln 2} - 0 = \ln 2\cdot 2^{x }$

$\lim_{x\rightarrow 0^{+} } \frac{x \sin x}{2^{x} - 1} = \lim_{x\rightarrow 0^{+} } \frac{\sin x + x \cos x}{ \ln 2\cdot 2^{x }}$

$= \frac{\sin 0 + 0 \cos 0}{ \ln 2\cdot 2^{0 }} = \frac{ 0 + 0 }{ \ln 2\cdot 1} = 0$

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示例问题#2：限制

解决:

${}\lim_{x \to \infty} x^\frac{5}{x}}$

可能的答案:

e^5

ln(5)

正确答案：

解释：

替换无效。为了解决 ${}{ \lim_{x \to \infty} x^\frac{5}{x}}$ ，把它写成方程。

${} y= { \lim_{x \to \infty} x^\frac{5}{x}}$

两边同时取自然对数，把指数写下来。

${} \lim_{x \to \infty} ln(y)= \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} \cdot ln(x)$

${} \lim_{x \to \infty} ln(y)= 5\lim_{x \to \infty} \frac{ln(x)}{x}$

自从 ${} \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x)}{x}$ 是不确定的， ${}\frac{\infty}{\infty}$ ，用洛必达法则。

洛必达法则如下:

$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

${} \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0$

这表明方程的右边是零。

${} \lim_{x \to \infty} ln(y)= 0$

使用术语以消除自然对数。

${} \lim_{x \to \infty} e^l^n^(^y^)= e^0$

$\lim_{x \to \infty} y=e^0=1$

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问题6:医院规则

使用L'Hopital规则评估极限。

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2}{e^x+1}$

可能的答案:

未定义的

$\infty$

正确答案：

解释：

洛必达法则用于计算复杂的极限。这个法则要求你分别对分子和分母求导来化简函数。对于给定的函数，我们第一次求导就得到

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x}{e^x}$ ．

这仍然无法正确计算，因此我们将再次分别取顶部和底部的导数。这次我们得到

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{e^x}$ ．

现在我们只有一个x，所以我们可以在x为无穷大时计算。插入x的无穷大，我们得到

$\frac{2}{e^\infty }$ 和 $e^\infty=\infty$ ．

所以我们可以简化这个函数，记住任何数除以∞都是0。

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问题7:医院规则

使用L'Hopital规则评估极限。

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{ln(x)}$

可能的答案:

$\infty$

未定义的

正确答案：

解释：

洛必达法则用于计算复杂的极限。这个法则要求你分别对分子和分母求导来化简函数。对于给定的函数，我们第一次求导就得到

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}4x^2$ ．

因为第一组导数消去了x项，所以剩下的x项可以代入0。我们这样做是因为极限趋于0。

这给了我们

$4\cdot 0^2=0$ ．

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例子问题#8:医院规则

使用L'Hopital规则评估极限。

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5x^3+1}{3x^2}$

可能的答案:

$\infty$

$\frac{5}{3}$

未定义的

$\frac{15}{6}$

正确答案：

$\infty$

解释：

洛必达法则用于计算复杂的极限。这个法则要求你分别对分子和分母求导来化简函数。对于给定的函数，我们第一次求导就得到

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{15x^2}{6x}$ ．

这仍然无法正确计算，因此我们将再次分别取顶部和底部的导数。这次我们得到

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{30x}{6}=5x$ ．

现在我们只有一个x，所以我们可以在x为无穷大时计算。插入x的无穷大，我们得到

$5\cdot \infty=\infty$ ．

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问题9:医院规则

计算下面的极限。

$\lim_{x\rightarrow2} \frac{x^2-4}{2x-4}$

可能的答案:

正确答案：

解释：

为了计算极限，通常我们可以把极限值代入表达式。然而，在这种情况下，如果我们这样做，我们会得到 $\frac00$ ，这是未定义的。

我们能做的就是用洛必达法则，它说

$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ ．

洛必达法则允许我们同时对上下求导仍然得到相同的极限。

$\lim_{x-\rightarrow 2} \frac{x^2-4}{2x-4}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{2x}{2}$ ．

代入 x=2 答覆．

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