这是一个二项式概率实验。

均匀硬币在任何一次投掷中正面朝上的概率是．

如果抛硬币四次，那么正面出现三次的概率为:

正面出现四次的概率为:

所以正面出现的概率至少3倍等于

第二种说法无关紧要;前一次试验的结果对本次试验的结果没有影响。这个问题已经证明了硬币是公平的。

答案是，表述一单独能充分解题，但表述二不行。

我们需要两个表述来得到答案。

表述一单独是不够的。总共有24块饼干并不能告诉我们每种饼干的比例。我们可以吃一块巧克力饼干和23个燕麦葡萄干，反之亦然。

表述二单独也不充分。只知道巧克力饼干比燕麦葡萄干多8个，却不知道袋子里的总量是多少，这是没有用的。可以是1个燕麦葡萄干饼干和9个巧克力片，也可以是100个燕麦葡萄干饼干和108个巧克力片饼干(尽管这是一个相当大的袋子!)

只有把两个表述放在一起，我们才能找到正确的比例。如果我们让是巧克力饼干的数量，和为燕麦葡萄干的数量，我们可以建立两个方程，找到正确的比例。我们知道

从表述一，和

从表述二。

替换代入第一个方程

因此，我们得到了8个燕麦葡萄干饼干和16个巧克力饼干。答案是

或者怪物拿出巧克力饼干的概率是66.67%。

披萨在男性中获得了24张选票。既然回答披萨的人中有一半是女性，那么肯定有24票来自女性。

如果五分之一的男人投票给披萨，这就意味着我们有男人。如果10个女人中有3个投票给披萨，我们就赢了女性共对200人进行了调查。

如果我们的人口是60%的男性和40%的女性，我们仍然有24名男性和24名女性投票给披萨，但是虽然我们可以确定投票人数的比例，但我们无法得到一个精确的数字。例如，80名女性和120名男性可以，我们也可以有160名女性和240名男性作为我们的总投票(10名男性中有1名和20名女性中有3名投票披萨)。

因此，第一个条件是充分的，而第二个条件则不是。

这个问题是关于条件概率的。

表述1由独立事件组成。过去的试验不会影响未来的硬币试验。抛硬币并正面朝上的概率是．

表述2)也由独立的事件组成。然而，考虑到前10天是晴天，并不一定意味着第二天一定是晴天。这个概率是未知的，因为这个陈述没有给出任何关于某一天晴天的百分比的信息。

为了求几个事件的概率，我们需要分别求每个事件的概率。首先，我们需要知道每种颜色有多少种。

表述一表示橙色和蓝色的点数。

表述二告诉我们黑棋的个数。

从表述一来看:

从表述二:

用表述一，表述二，和已知的信息，我们可以代入从表述一到表述二并得到以下结果:

我们可以解出：

因为表述一告诉我们蓝色的比橙色的多14个，我们可以求出橙色的个数:

因此，为了找到多个事件的概率，将每个事件的概率相乘:

每个表述单独给出的信息只有一个顺序，所以至少，两个表述都是必要的。

从表述一中，我们知道拉尔夫会付钱为了他的饮料，因为他只愿意付两杯浓咖啡的钱。

从表述2中，无法确定珍妮特将支付多少。不过，她会为三杯饮料买单，其中两杯是卡布奇诺;她至少会花两杯卡布奇诺和一杯美式咖啡的钱．

从两种说法来看，珍妮特肯定会付更多的钱。

单独从表述一，你知道帕蒂花了．然而，也有可能米奇花了更多的钱(比如三杯浓缩咖啡)，同样多的钱(比如三杯土耳其咖啡)，或者更少的钱(比如三杯卡布奇诺)。单独表述二给出的信息更少，因为它只告诉你米奇买了一种饮料。

假设你知道这两个表述。那你知道帕蒂花了．你不知道米奇花了多少钱，但他能花的最多是(一个美式咖啡和两个欧式咖啡)。因此，两个表述合在一起是解题的充分必要条件。

学生投票，所以需要236票才能赢得简单多数。

仅从表述一就可以确定克兰至少赢了选票(他自己的初始选票加上之前投给琼斯的所有选票)，查斯克至少赢得了98票(他自己的初始选票)。

仅从表述二可以确定，Crane至少赢了(他自己的初始选票加上之前投给威尔斯的三分之一的选票)，至少查斯克赢了选票(他自己的初始选票加上之前投给威尔斯的三分之二选票)。

这两项声明都不能单独获得多数票。然而，从表述一和表述二中，我们知道克兰至少赢得了他自己的初始选票，琼斯的所有选票，以及威尔斯的三分之一选票

选票。因此Crane是赢家，两个陈述都需要证明这一点。

表述一单独告诉我们1945年Renfrow的人口在13,251到15,049之间，但没有说1955年的人口。

类似地，表述二单独告诉我们1955年的人口在15049到19415之间，但没有提到1945年的人口。

然而，这两个表述加在一起告诉我们，从1940年到1960年，人口每年都在增长，所以1955年的人口肯定比1945年的人口多。

从这两种说法结合起来，只能推测1965年和1975年的人口都超过了1970年的人口。关于1965年的人口规模相对于1975年的人口规模，无法得出任何结论。