GMAT数学:圆柱体

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例子问题

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例子问题1:气缸

吉米尼想要粉刷他的一个筒仓。一加仑这种油漆大约可以覆盖 300 平方英尺。他需要多少加仑?

I)筒仓半径为 $\frac{14}{\pi}$ 的脚。

(二)高度为 $12\pi$ 乘以半径。

可能的答案:

表述一能充分解题，但表述二不能充分解题。

第一和第二都不足以回答这个问题。需要更多的信息。

表述二能充分解题，但表述一不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

要回答这个问题，这两个表述都是必要的。

正确答案:

要回答这个问题，这两个表述都是必要的。

解释：

回顾我们的语句:

I)筒仓半径为 $\frac{14}{\pi}$ 的脚。

(二)高度为 $12\pi$ 乘以半径

我们需要求表面积来求我们需要多少加仑。表面积由:

$\small SA=2\pi r^2+2\pi r h$

为了求表面积，我们需要半径和高度，所以这两个表述都需要。

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例子问题2:Dsq:计算圆柱的表面积

锡罐的容积是 $\small 375\pi in^3$ ．

I)罐子的高度是英寸。

(二)罐底半径为英寸。

罐头的表面积是多少?(假设它是一个完美的圆柱体)

可能的答案:

回答这个问题需要两个表述。

这两种说法都不足以回答这个问题。需要更多的信息。

表述一能充分解题，但表述二不能充分解题。

表述二能充分解题，但表述一不能充分解题。

任何一个表述都能充分回答这个问题。

正确答案:

任何一个表述都能充分回答这个问题。

解释：

要求圆柱体的表面积，我们需要半径和高度。

如果已知体积，以及半径或高度，我们就可以逆向求出另一个维度。

因为I和II给出了高度和半径，任何一种表述都可以用来求表面积。

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示例问题3:Dsq:计算圆柱的表面积

油罐车的油罐是通过弯曲金属片，然后在两端焊接而成的。如果水箱的长度是米，它的半径是多少?

I)罐体容积为 250 m^3 ．

(二)需要 $150\pi$ 用几平方米的金属来建造这个水箱。

可能的答案:

这两种说法都不足以回答这个问题。需要更多的信息。

表述二能充分解题，但表述一不能充分解题。

回答这个问题需要两个表述。

任何一个表述都能充分回答这个问题。

表述一能充分解题，但表述二不能充分解题。

正确答案:

任何一个表述都能充分回答这个问题。

解释：

要从体积或表面积求圆柱体的半径，我们需要高度。

题目中给出了高度。

在这两个表述中，我们已知体积和表面积。

因此，两个表述都是充分的。

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示例问题4:Dsq:计算圆柱的表面积

1号圆柱和2号圆柱，哪一个的表面积更大?

表述一:圆柱体1的高度与其中一个底的半径之和等于圆柱体2的高度与其中一个底的半径之和。

表述二:圆柱1和圆柱2的底座有相同的周长。

可能的答案:

两个表述单独都能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

正确答案:

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

解释：

我们会让而且分别为圆柱体1和圆柱体2的半径，和而且分别为1号筒和2号筒的高度。

圆柱体1的表面积是

$a = 2 \pi r(r+h)$ ，

圆柱体2的表面积为

$A = 2 \pi R(R+H)$ ．

表述1单独是不充分的，通过检查这两个例子可以看出。

案例1: H = 4, R= 4, h = 1, r= 7

对于每个圆柱体，半径和高的和是8，即， r+h = R+H = 8 ．

圆柱体1的表面积是

$a = 2 \pi r(r+h)$

$= 2 \pi \cdot 4 \cdot 8$

$= 64 \pi$

圆柱体2的表面积是

$A = 2 \pi R(R+H)$ ，

$= 2 \pi \cdot 7 \cdot 8$

$= 112 \pi$

因此，圆柱体2的面积更大。

案例2: H = 1, R= 7, h = 4, r= 4

这只是切换了圆柱体的尺寸，因此，它切换了表面积。圆柱体1的表面积更大。

每个情形都满足表述一的条件。

单独假设表述二。底的周长是一样的，因此，半径也是一样的。但是高度也是需要的，表述二没有告诉我们高度是多少。

假设两个表述都为真。

在声明1, R + H = r + h ．

根据表述二，由于底的周长相等，它们的半径也相等，所以 R = r ．

通过减法，它紧随其后 R + H -R= r + h - r , H = h ．由于圆柱体的高度相同，底的半径相同，因此它们的表面积相等。

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例子问题1:Dsq:计算圆柱的表面积

给定一个圆柱体的表面积。

表述1:每个底的周长为 $14 \pi$ ．

表述2:每个底的半径为7。

可能的答案:

两个表述单独都能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

正确答案:

两个表述一起不足以回答这个问题。

解释：

圆柱体的表面积可以由半径计算出来和高度使用公式:

$A = 2 \pi rh + 2 \pi r^{2}$

表述一给出了底的周长，可以除以 $2 \pi$ 产生半径;表述二直接给出了半径。然而，这两种表述都没有给出关于高度的信息，因此无法计算出表面积。

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例子问题2:Dsq:计算圆柱的表面积

1号圆柱和2号圆柱，哪一个的横向面积更大?

表述一:圆柱体1的高度与其中一个底的半径之积小于圆柱体2的高度与其中一个底的半径之积。

表述二:圆柱体2的高度与其中一个底的半径的乘积等于圆柱体1的高度与其中一个底的直径的乘积。

可能的答案:

两个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

正确答案:

两个表述单独都能充分解题。

解释：

圆柱体的横向面积可以由半径计算出来和高度使用公式:

$a = 2 \pi rh$ ．

在这道题中，我们将用而且为圆柱1和的尺寸而且和2号圆柱的一样。因此，缸体2的横向面积为

$A = 2 \pi RH$

单独假设表述一。这意味着

rh < RH ;

不等式两边同时乘以 $2 \pi$ ,我们得到

$2 \pi rh <2 \pi RH$ ，

或

a < A ，

因此，圆柱体2的横向面积更大。

单独假设表述二。因为圆柱体1底的直径是它半径的两倍，或者,这意味着

2 rh = RH

或

$rh =\frac{1}{2} RH$

由此可见, rh < RH 再次,, $2 \pi rh <2 \pi RH$ ,或 a < A ．圆柱体2的横向面积更大。

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示例问题7:Dsq:计算圆柱的表面积

给定一个圆柱体的表面积。

表述1:每个底的周长为 $18 \pi$ ．

表述二:高度比每个底座的直径大四。

可能的答案:

两个表述单独都能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

解释：

圆柱体的表面积可以由半径计算出来和高度使用公式:

$A = 2 \pi r(r+h)$

表述一给出了底的周长，可以除以 $2 \pi$ 产生半径;然而，它没有提供关于高度的信息，因此无法计算表面积。

表述二给出了半径和高度的关系，但没有实际的长度，我们无法确定地给出表面积。

假设两个表述都为真。因为，根据表述一，底的周长是 $18 \pi$ ，其半径为 $18 \pi \div 2 \pi = 9$ ;它的直径是这个的两倍，即18，它的高度是这个直径的4倍，即22。现在我们知道了半径和高度，我们可以用表面积公式来回答这个问题:

$A = 2 \pi r(r+h)$

$A = 2 \pi \cdot 9 \cdot (9+22)$

$A = 2 \pi \cdot 9 \cdot 31$

$A = 558 \pi$

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示例问题8:Dsq:计算圆柱的表面积

1号圆柱和2号圆柱，哪一个的表面积更大?

表述一:圆柱体1的底半径是圆柱体2底半径的两倍。

表述二:圆柱体1的高度是圆柱体2的一半。

可能的答案:

两个表述单独都能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

正确答案:

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

解释：

我们会让而且分别为圆柱体1、2底座的半径，和而且站在他们的高度。

圆柱体1的表面积可以由半径来计算和高度使用公式:

$A = 2 \pi R (R+H)$ ;

同样，圆柱体2的表面积为

$a = 2 \pi r(r+h)$

因此，我们试图确定哪一个更大，或．

表述一单独告诉我们 R = 2r 但是在不了解高度的情况下，我们无法进行比较来．类似地，表述二告诉我们

$H = \frac{1}{2} h$ ,同样, h = 2H ，但是没有任何关于半径的信息，同样，我们不能确定是哪个而且是更大的。

现在假设两个表述都成立。替换为而且为，圆柱体1的表面积:

$A = 2 \pi \cdot 2r (2r+H)$

$A = 4 \pi r (2r+H)$

$A = 4 \pi r \cdot 2r+ 4 \pi r \cdot H$

$A = 8 \pi r^{2}+4 \pi rH$ ．

圆柱体2有表面积

$a = 2 \pi r(r+2H)$

$a = 2 \pi r \cdot r+2 \pi r \cdot 2H$

$a = 2 \pi r^{2} +4 \pi rH$

$A - a= (8 \pi r^{2}+4 \pi rH) - \left (2 \pi r^{2} +4 \pi rH \right )= 6 \pi r^{2}$ ,所以 A > a ，圆柱体1的表面积更大。

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示例问题9:Dsq:计算圆柱的表面积

给定一个圆柱体的表面积。

表述一:如果高度加一个底的半径，总和是20。

表述二:如果高度加底的直径，总和是30。

可能的答案:

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述单独都能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

正确答案:

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

解释：

圆柱体的表面积可以由半径计算出来和高度使用公式:

$A = 2 \pi r (r+h)$

我们可以把这些表述改写成方程组，记住直径是半径的两倍:

声明1: h + r = 20

声明2: h + 2r = 30

两个表述单独都不能给出实际的半径或高度。然而，如果我们把第一个方程的两边都减去后一个方程:

$\left (h + 2r \right ) -\left (h + r \right ) = 30 - 20$

r = 10

我们把第一个方程代回:

h + 10= 20

h = 10

高度和半径都是已知的，现在可以计算表面积了:

$A = 2 \pi r (r+h)$

$A = 2 \pi \cdot 10 \cdot (10+10)= 2 \pi \cdot 10 \cdot 20 = 400 \pi$

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示例问题10:Dsq:计算圆柱的表面积

1号圆柱和2号圆柱，哪一个的横向面积更大?

表述一:圆柱体的体积相同。

表述二:圆柱体1的高度与其底面积之积等于圆柱体2的高度与其底面积之积。

可能的答案:

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述单独都能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

正确答案:

两个表述一起不足以回答这个问题。

解释：

圆柱体的体积是它的高度和底面积的乘积，所以这两个表述实际上是等价的。因此，我们证明，知道体积相同不足以确定哪个圆柱体(如果其中有一个)具有更大的横向面积。

圆柱体的横向面积可以由半径计算出来和高度使用公式:

$a = 2 \pi rh$ ．

在这道题中，我们将用而且为圆柱1和的尺寸而且和2号圆柱的一样。因此，缸体2的横向面积为

$A = 2 \pi RH$

此外，体积可以用公式计算

$v= \pi r^{2} h$ ，

这就会起作用。

情形1:圆柱体有相同的高度，它们的底部有相同的半径。

很容易得出结论，它们有相同的体积和相同的横向面积。

案例2: r =4, R, = 3, h = 9, H = 16

体积是一样的:

气缸1: $v= \pi r^{2} h = \pi \cdot 4^{2} \cdot 9 = 144 \pi$

气缸2: $V = \pi R^{2}H = \pi \cdot 3^{2} \cdot 16 = 144 \pi$

然而，它们的外侧区域不同:

气缸1: $a = 2 \pi rh = 2 \pi \cdot 4 \cdot 9= 72\pi$

气缸2: $A = 2 \pi RH = 2 \pi \cdot 6 \cdot 16 = 192 \pi$

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