GMAT数学:绘制二次函数图

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例子问题

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例子问题1:二次函数的画图

的可能值是什么如果二次函数的抛物线 $f (x) = Ax^{2} + 4x- 2$ 是向上凹而不相交的设在吗?

可能的答案:

任意值的抛物线都不存在．

A > -2

-2 < A < 0

-2 < A < 4

A > 4

正确答案:

任意值的抛物线都不存在．

解释：

如果图像 $f (x) = Ax^{2} + 4x- 2$ 那么是向上凹的吗 A > 0 ．

如果图形不与设在,然后 $Ax^{2} + 4x- 2 = 0$ 有没有实解，判别式呢 $4^{2} - 4 \cdot A \cdot \left ( -2\right )$ 是消极的:

$4^{2} - 4 \cdot A \cdot \left ( -2\right ) < 0$

16 +8 A < 0

16 +8 A - 16 < 0 - 16

8 A < - 16

$8 A \div 8< - 16 \div 8$

A < -2

抛物线要同时具备这两个特征，必须满足 A < -2 而且 A > 0 ，但这两个事件是相互排斥的。因此，抛物线不存在。

例子问题2:如何绘制二次函数图

下列哪个方程的图形是一条具有对称线的垂直抛物线 x = 7 ?

可能的答案:

$f(x)= 7x^{2}+49x+140$

$f(x)=7x^{2}+98x+140$

$f(x)=7x^{2} +140$

$f(x)=7x^{2}-49x+140$

$f(x)=7x^{2}-98x+140$

正确答案:

$f(x)=7x^{2}-98x+140$

解释：

的图形 $f(x)= Ax^{2}+Bx+ C$ 方程的垂直线是对称的吗

$x=- \frac{B}{2A}$

自 A=7 在每个选项中，我们都想找到这样

$7=- \frac{B}{2A} = - \frac{B}{2(7)} = - \frac{B}{14}$

$- \frac{B}{14} = 7$

$B = 7\cdot (-14)=-98$

所以正确的选择是 $f(x)=7x^{2}-98x+140$ ．

例子问题3:如何绘制二次函数图

下列哪个方程的图形是右凹的水平抛物线?

可能的答案:

$y=- 7x^{2}- 4x+13$

其他的答案都不正确。

$x=- 7y^{2}- 4y+13$

$y= 7x^{2}- 4x+13$

$x=7y^{2}- 4y+13$

正确答案:

$x=7y^{2}- 4y+13$

解释：

水平抛物线有标准形式的方程，

$x= Ay^{2}+ By+ C$ ，

与 A,B,C 真实的,非零。

它的方向取决于的符号．在右凹抛物线方程中，是正面的，那么正确的选择是什么呢 $x=7y^{2}- 4y+13$ ．

问题4:如何绘制二次函数图

函数的图形 f(x) 而且 g(x) 有相同的对称线。

如果我们定义 $f(x) = 2x^{2}+ 4x+7$ ，下面哪个选项是的可能定义 g(x) ?

可能的答案:

$g(x) = 2x^{2}-4x-7$

$g(x) = x^{2}+ 4x+7$

其他的答案都不正确。

$g(x) = 2x^{2}+ 8x+7$

$g(x) = 4x^{2}+8x+7$

正确答案:

$g(x) = 4x^{2}+8x+7$

解释：

这种形式的函数的图形 $f(x)= Ax^{2}+Bx+C$ -一个二次函数-是一个具有对称线的垂直抛物线 $x= - \frac{B}{2A}$ ．

函数的图像 $f(x) = 2x^{2}+ 4x+7$ 因此有线条对称

$x= - \frac{4}{2 (2)}$ ,或 x = -1

的所有四种定义找到一条这样对称的线。

$g(x) = 2x^{2}-4x-7$ ：

$x= - \frac{-4}{2 (2)}$ ,或 x = 1

$g(x) = x^{2}+ 4x+7$ ：

$x= - \frac{ 4}{2 (1)}$ ,或 x = -2

$g(x) = 2x^{2}+ 8x+7$

$x= - \frac{ 8}{2 (2)}$ ,或 x = -2

$g(x) = 4x^{2}+8x+7$

$x= - \frac{ 8}{2 (4)}$ ,或 x = -1

因为函数的图像 $g(x) = 4x^{2}+8x+7$ 与函数的对称线相同吗 $f(x) = 2x^{2}+ 4x+7$ 这是正确的选择。

例5:如何绘制二次函数图

给方程的图形在该点处的坐标

$y= x^{2}+ 2x- 7$

而且

$y = 2x^{2}- 6x+5$

相交。

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们可以令这两个二次表达式相等并求解．

$y= x^{2}+ 2x- 7$ 而且 $y = 2x^{2}- 6x+5$ ,所以

$2x^{2}- 6x+5 = x^{2}+ 2x- 7$

$2x^{2}- 6x+5 -( x^{2}+ 2x- 7)= x^{2}+ 2x- 7 -( x^{2}+ 2x- 7)$

$2x^{2}- 6x+5 - x^{2}- 2x+ 7=0$

$x^{2}- 8x+12=0$

(x-2)(x-6) = 0

的交点的坐标为2和6。要找到-coordinates，代入任意一个方程:

$y= x^{2}+ 2x- 7$

$y= 2^{2}+ 2 \cdot 2 - 7$

y= 4+4 - 7

y=1

其中一个交点是 (2,1) ．

$y= x^{2}+ 2x- 7$

$y= 6^{2}+ 2 \cdot 6 - 7$

y= 36+ 12 - 7

y = 41

另一个交点是 (6,41) ．

1不在选项中，但41在，所以这是正确答案。

例子问题6:如何绘制二次函数图

给出函数图的截距集合 $f(x)= \frac{1}{7} (x-7)^{2}$ ．

可能的答案:

$\left \{ (7,0), (0,-7),(0,7) \right \}$

$\left \{ (7,0), (0,-7) \right \}$

$\left \{ (-7,0), (0,-7),(0,7) \right \}$

$\left \{ (-7,0), (0,7) \right \}$

$\left \{ (7,0), (0,7) \right \}$

正确答案:

$\left \{ (7,0), (0,7) \right \}$

解释：

的-intercepts，如果存在，可以通过setting找到 f(x) = 0 ：

$f(x)= \frac{1}{7} (x-7)^{2} = 0$

$\frac{1}{7} (x-7)^{2} \cdot 7 = 0\cdot 7$

$(x-7)^{2} = 0$

x-7 = 0

x= 7

唯一的拦截是 (7,0) ．

的-intercept可以通过将0替换为：

$f(0)= \frac{1}{7} (0-7)^{2} = \frac{1}{7} ( -7)^{2}= \frac{1}{7} \cdot 49 = 7$

的拦截是 (0,7) ．

正确的拦截集是 $\left \{ (7,0), (0,7) \right \}$ ．

示例问题7:如何绘制二次函数图

给-函数图交点的坐标

$f(x) = x^{2}- 4x+ 7$

而且

g(x) = 4x ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

方程组可以写成

$y= x^{2}- 4x+ 7$

y = 4x ．

我们可以把这两个表达式代入相互相等，解:

$x^{2}- 4x+ 7 = 4x$

$x^{2}- 8x+ 7 =0$

(x-1)(x-7)= 0

x= 1,x=7

我们可以代回方程 y = 4x ，也看到了 y = 4 或 y = 28 ．后一种值是正确的选择。

例8:如何绘制二次函数图

$f(x)= Ax^{2}+ Bx+ C$ 在坐标平面上有一条垂直抛物线作为其图形。这是已知的 A= - 5 而且 C = 9 ，但你没有被给予．

在不知道值的情况下，你可以确定下列哪项?

I)图形是向上凹还是向下凹

II)顶点位置

(三)拦截

(四)-拦截，如果有的话

V)对称线方程

可能的答案:

仅限I和V

只有I, II和V

仅限III及IV

仅限I、III和IV

只有I和III

正确答案:

只有I和III

解释：

I)抛物线的方向完全由的符号决定．自 A= -5 < 0 时，可确定抛物线向下凹。

II和V)顶点的-坐标为 $-\frac{B}{2A}$ ；既然你没有给出你找不到这个。同样，因为对称线有方程 $x=-\frac{B}{2A}$ ，出于同样的原因，你也找不到这个。

3)-intercept是 x = 0 ；通过代换，可以发现它在 (0,C) ．已知等于9，所以-intercept可以确定为 (0,9) ．

(四)的-intercept(s)，如果有的话，是 $f(x)= Ax^{2}+ Bx+ C = 0$ ．这个可以用二次公式求解

$x= \frac{-B \pm \sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$

因为这三个 A,B, 而且必须知道这个才能被评估，而且只有众所周知，-intercept(s)不能被识别。

正确的回答是I和III。

问题9:如何绘制二次函数图

下列哪个方程可以用一个垂直抛物线来表示拦截?

可能的答案:

$f(x)= 3x^{2}- 12x + 9$

$f(x)= 3x^{2}- 12x + 3$

$f(x)= 3x^{2}- 12x + 6$

$f(x)= 3x^{2}- 12x + 12$

$f(x)= 3x^{2}- 12x + 15$

正确答案:

$f(x)= 3x^{2}- 12x + 12$

解释：

的图形 $f(x)= Ax^{2}+Bx+ C$ 只有一个-截取当且仅当

$Ax^{2}+Bx+ C = 0$

只有一个解，或者等价地，当且仅当

$B^{2}-4AC = 0$

因为在这三个方程中， A = 3,B = -12 的值通过代入并求解，可以证明:

$(12)^{2}-4(3)C = 0$

144-12C = 0

12C = 144

C= 12

正确的选择是 $f(x)= 3x^{2}- 12x + 12$ ．

例子问题1:二次函数的画图

给出函数图形的顶点

$f(x) = 2x^{2}- 8x + 17$ ．

可能的答案:

(4,1)

(-4,1)

(0,17)

(2,9)

(-2,9)

正确答案:

(2,9)

解释：

这可以用这个形式来回答

$f(x) = a(x-h)^{2}+ k$ ．

一旦完成了这一步，我们就可以将顶点确定为点 (h,k) ．

$f(x) = 2x^{2}- 8x + 17$

$f(x) = 2(x^{2}- 4x) + 17$

$f(x) = 2(x^{2}- 4x+4) - 2(4)+ 17$

$f(x) = 2(x-2) ^{2}- 8+ 17$

$f(x) = 2(x-2) ^{2}+9$

顶点是 (2,9)

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