GMAT数学:画对数

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例子问题

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例子问题1:几何坐标

什么是的图的-截距 $y = \log _{2}(x+ 4)$ ?

可能的答案:

(2,0)

(-3,0)

(1,0)

这个图没有拦截。

(-4,0)

正确答案:

(-3,0)

解释：

集 y = 0 和解决:

$y = \log _{2}(x+ 4)$

$\log _{2}(x+ 4) = 0$

$2 ^ {\log _{2}(x+ 4) }= 2 ^ { 0}$

x + 4 = 1

x + 4 - 4 = 1 - 4

x = -3

的拦截是 (-3,0) ．

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例子问题2:如何画对数

什么是的图的-截距 $y = \log _{3}(x+ 9)$ ?

可能的答案:

(0,-9)

(0,-6)

(0,3)

这个图没有拦截。

(0,2)

正确答案:

(0,2)

解释：

集 x= 0 和评估：

$y = \log _{3}(x+ 9)$

$y = \log _{3}(0+ 9) = \log _{3}9$

自 $3 ^{2} =9$ ,

$\log _{3}9 =2$ ，以及拦截是 (0,2) ．

报告错误

例子问题3:如何画对数

的垂直渐近线是什么 $y = \log_{5} (x-7)$ ?

可能的答案:

x = 12

该图没有垂直渐近线。

x = 8

x = 6

x = 7

正确答案:

x = 7

解释：

对数函数的图形有一条垂直渐近线，可以通过求幂等于0的值来求得:

$x-7 = 0 \Rightarrow x = 7$

如果 $x \leq 7$ ,然后 $\log_{5} (x-7)$ 是一个没有定义的表达式，那么垂直渐近线是多少呢 x = 7 ．

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问题4:如何画对数

定义一个函数如下:

$g(x) =2 \log_{4}(x-4)+ 3$

给的图的-截距．

可能的答案:

(-4, 0)

(12,0)

$\left ( 4\frac{1}{8}, 0 \right )$

$\left ( 3\frac{7}{8}, 0 \right )$

的图形没有拦截。

正确答案:

$\left ( 4\frac{1}{8}, 0 \right )$

解释：

集 g(x) =0 和评估要找到-坐标拦截。

$g(x) =2 \log_{4}(x-4)+ 3 = 0$

$2 \log_{4}(a-4) = -3$

$\log_{4}(a-4) = -\frac{3}{2}$

这可以写成指数形式:

$a - 4 = 4 ^{-\frac{3}{2}}= \frac{1}{4 ^{ \frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{4 })^{ 3}} = \frac{1}{2^{ 3}} = \frac{1}{8}$

$a = 4\frac{1}{8}$

的的图的-截距是 $\left ( 4\frac{1}{8}, 0 \right )$ ．

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例5:如何画对数

定义一个函数如下:

$g(x) = \log_{9}(x-4)+ 2$

给 $y\:$ 的图的-截距．

可能的答案:

的图形没有 $y\:$ 拦截。

(0, 2)

$\left ( 0, 3\frac{80}{81}\right )$

(0,4)

$\left ( 0, 4\frac{1}{81}\right )$

正确答案:

的图形没有 $y\:$ 拦截。

解释：

的 $y\:$ -坐标 $y\:$ 拦截是 g(0) ：

$g(x) = \log_{9}(x-4)+ 2$

$g(0) = \log_{9}(0-4)+ 2$

$= \log_{9}( -4)+ 2$

然而，负数的对数是一个未定义的表达式，所以 g(0) 是一个未定义的量，而没有 $y\:$ 拦截。

报告错误

例子问题6:如何画对数

定义一个函数如下:

$g(x) =-2 \log_{8}(x+2)+ 3$

给出曲线的垂直渐近线方程．

可能的答案:

$x = \frac{2}{3}$

x = 3

x = 2

x = -2

x = -3

正确答案:

x = -2

解释：

只有正数才有对数，所以

x+2 > 0

x> -2

这个图形从不穿过方程的垂直线 x = -2 这是垂直渐近线。

报告错误

示例问题7:如何画对数

定义一个函数如下:

$g(x) =2 \ln (x-4)+ 3$

给出曲线的垂直渐近线方程．

可能的答案:

的图形没有垂直渐近线。

x = 3

$x = -\frac{3}{2}$

x = 2

x = 4

正确答案:

x = 4

解释：

只有正数才有对数，所以

x- 4 > 0

x> 4

这个图形从不穿过方程的垂直线 x = 4 这是垂直渐近线。

报告错误

例8:如何画对数

定义一个函数如下:

$g(x) =-2 \log_{8}(x+2)+ 3$

给 $y\:$ 的图的-截距．

可能的答案:

$\left ( 3\frac{2}{3},0 \right )$

$\left ( 2\frac{1}{3},0 \right )$

的图形没有 $y\:$ 拦截。

(-3,0)

(9,0)

正确答案:

$\left ( 2\frac{1}{3},0 \right )$

解释：

的 $y\:$ -坐标 $y\:$ 拦截是 g(0) ：

$g(x) =-2 \log_{8}(x+2)+ 3$

$g(0) =-2 \log_{8}(0 +2)+ 3$

$g(0) =-2 \log_{8}2+ 3$

因为2是8的立方根， $8^{\frac{1}{3}}= 2$ , $\log_{8}2 = \frac{1}{3}$ ．因此,

$g(0) =-2 \cdot \frac{1}{3}+ 3 = -\frac{2}{3}+ 3 = 2\frac{1}{3}$ ．

的 $y\:$ 拦截是 $\left ( 2\frac{1}{3},0 \right )$ ．

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问题9:如何画对数

定义函数而且如下:

$f(x) = \log \frac{1}{x+3}$

$g(x) = \log (4x+12)$

给函数图相交点的坐标。

可能的答案:

的图表而且不相交。

$\log 2$

$-\log 2$

正确答案:

$\log 2$

解释：

自 $- \log N = \log \left ( \frac{1}{N} \right )$ ，的定义可以改写为:

$f(x) = - \log (x+3)$

首先，我们需要找到的图形所在点的坐标而且通过设定见面

g(x)= f(x)

$\log (4x+12)= \log \frac{1}{x+3}$

由于多项式的公对数和有理表达式相等，我们可以使这些表达式本身相等，然后求解:

$(4x+12)= \frac{1}{x+3}$

$(4x+12)(x+3)= \frac{1}{x+3} \cdot (x+3)$

$4x^{3}+24x+36 =1$

$4x^{3}+24x+35 =0$

我们可以用方法，找到两个整数，它们的和为24，乘积为 $4 \cdot 35 = 140$ -这些整数是10和14，所以我们把中间项、组和因子分开:

$(4x^{3}+10x)+(14x+35 )=0$

2x (2x+5)+7(2x+5 )=0

(2x +7)(2x+5 )=0

2x+7 = 0

2x= -7

$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2}$

或

2x+5= 0

2x= -5

$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$

这给了我们两种可能坐标。然而,由于

$g\left ( -3\frac{1}{2} \right ) = \log \left [4\left ( -3\frac{1}{2} \right ) +12 \right ] = \log (-14+12) = \log (-2)$ ,

一个未定义的量-负数没有对数-

我们把这个值扔出去。至于另一个-value，我们计算:

$f\left ( -2\frac{1}{2} \right ) = \log \frac{1}{ -2\frac{1}{2} +3} = \log \frac{1}{\frac{1}{2}} = \log 2$

而且

$g\left ( -2\frac{1}{2} \right ) = \log \left [4\left ( -2\frac{1}{2} \right ) +12 \right ] = \log (-10+12) = \log 2$

$-2 \frac{1}{2}$ 正确吗?值, $\log 2$ 正确吗?价值。

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例子问题10:如何画对数

让 (x,y) 是这两个方程的图的交点:

$2 \log_{2} x-3 \log_{3} y = 13$

$5 \log_{2} x+2 \log_{3} y = 4$

评估 $y\:$ ．

可能的答案:

$y = \frac{1}{27}$

$y = \frac{1}{9}$

y = 9

$y = \frac{1}{27}$

y = -27

正确答案:

$y = \frac{1}{27}$

解释：

替代而且为 $\log_{2} x$ 而且 $\log_{3} y$ ，并求解得到的线性方程组:

2 u-3 v = 13

5 u+2 v = 4

第一个方程两边同时乘以2，第二个方程两边同时乘以3，然后相加:

4 u-6 v = 26

$\underline{15 u+6 v = 12}$

19u =38

$u = 38 \div 19 = 2$

现在back-solve:

5 (2)+2 v = 4

10+2 v = 4

2v=-6

v= -3

我们需要两者都找到而且确保解决方案存在。通过代回:

u = 2

$\log_{2} x = 2$

$x = 2^{2} = 4$ ．

v= -3

$\log_{3} y = -3$

$y = 3^{-3} = \frac{1}{3^{3}} = \frac{1}{27}$

$\left (4, \frac{1}{27} \right )$ 解决方案，和 $y = \frac{1}{27}$ ，正确的选择。

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