为了证明三角形的同余性，我们需要建立一些关于边和角的同余性的条件。

我们知道自反性。

如果我们只假设表述一，我们就知道两个角都是直角。如果我们只假设表述二，我们就知道根据等分线的定义。无论哪种方法，我们只有一个角和一个边相等，不足以建立三角形之间的相等。然而，这两个表述一起建立了角度-边角条件，它确实证明了这一点．

为了证明三角形的同余性，我们需要建立一些关于边和角的同余性的条件。

我们知道自反性。

仅从表述一，根据定义，和,因为而且是直角,．这设置了应用边角-边假设来证明这一点的条件．

仅从表述二，我们知道根据等分线的定义。但我们只有一个角和一个边相等，不足以建立三角形之间的相等。

单独假设表述一。如果,然后而且．那不能证明或反驳一致性命题。因此，表述一单独-通过类似的论证，表述二单独-不能充分解题。

现在假设两个表述都成立。

假设．然后，可以结合这两个语句来生成语句

．

类似地,如果，

，

而且．

而且不可能两者都是真的，所以是不可能的．

单从表述一，我们只给出一个角的全等性和一个边的全等性，如果没有进一步的信息，这不足以证明或否定三角形的全等性。同理，表述二单独也不充分。

假设两个表述都为真。根据表述一，斜边是全等的，根据表述二，一对对应的边是全等的。这些是斜边腿定理的条件，所以被证明是正确的。

每个表述单独给出了其中一个三角形的信息;没有关于另一个三角形的信息，就不可能证明或反驳三角形的全等性。

假设两个表述都为真。为，它必须同时具备而且．如果,然后自,然后,自,然后．因此,．类似地,如果,然后,；再一次,．因此，这两个表述一起证明了是假的。

假设两个表述都为真。

而且,所以斜边可以用勾股定理计算:

这建立也就是说，三角形的斜边是相等的。这就得到了一个边相等和一个角相等，也就是三角形之间的直角;然而，我们没有给出任何其他的边或角相等，所以我们不能确定三角形是否相等。

只假设表述一。根据勾股定理，,所以；随后,，证明单侧一致。然而，这个，还有一个角的同余度-直角的同余度而且-不足以证明或否定三角形的全等性。

只假设表述二。根据勾股定理，,所以；随后,，证明单侧一致。由于与表述1相同的原因，这提供了不充分的信息。

然而，这两个表述一起是充分的。表述1和表述2分别建立了斜边和对应的边之间的同余，建立了斜边-边定理的条件。因此,．

在任何直角三角形中，斜边的长度必须大于任意一条直角边的长度。因此,而且．

单独假设表述一。为，它一定是这样的．然而,而且,所以．这个表述证明了是假的。通过类似的论证，表述二证明是假的。

单独假设表述一。在任何直角三角形中，这两个锐角互为余角。因此,而且是补角吗而且是互补的角度。另外，两个角与同一个角互为余角是共角，因此，因为而且是互补的角度,而且．从所有三对对应角的同余度，可以得出结论而且是相似的，但没有任何侧面比较，不能证明或否定三角形之间的一致性。

单独假设表述二。如果，那么对应的边是相等的，所以而且．因此,．但是表述二告诉我们这是错的。因此，我们可以确定是一个错误的陈述。

假设两个表述都为真。表述一确定有两条相等的边，构成45-45-90度三角形。表述二确定斜边有长度吗乘以一条腿的长度，也是45-45-90度三角形。这些三角形的角度测量值相同，因此根据角-角公设，它们是相似的。然而，我们没有得到任何实际的长度，也没有知道不同三角形对应边的长度之间的关系，所以我们无法确定这些三角形是否相等。