GMAT数学:计算立方体的体积

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例子问题

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例子问题1:计算立方体的体积

一个边长为的立方体的体积是多少?

可能的答案:

正确答案:

解释：

V=s^3

V=2^3

V=8

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例子问题2:计算立方体的体积

矩形棱镜的长、宽、高，以英寸为单位，是三个不同的质数。所有三个维度都在6英尺到7英尺之间。棱镜的体积是多少?

可能的答案:

从所给的信息是不可能知道的。

$478,661 \textrm{ in}^{3}$

$444,059\textrm{ in}^{3}$

$490,779\textrm{ in}^{3}$

$504,889\textrm{ in}^{3}$

正确答案:

$478,661 \textrm{ in}^{3}$

解释：

6英尺和7英尺分别等于72英寸和84英寸。72和84之间有三个不同的质数73 79 83这是棱镜的三个维度，单位是英寸。棱镜的体积是

$73 \times 79 \times 83 = 478,661$ 立方英寸。

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例子问题3:计算立方体的体积

立方体的一个面对角线的长度为 $5\sqrt{2}$ ．给出立方体的体积。

可能的答案:

正确答案不在其他答案中。

125

$125 \sqrt{2}$

$\frac{125 \sqrt{2}}{2}$

250

正确答案:

125

解释：

正方形的对角线有长度 $\sqrt{2}$ 乘以一条边的长度，所以立方体的每个方面的每条边都有长度 $5 \sqrt{2} \div \sqrt{2}= 5$ ．立方体得到体积:

$V= 5^{3} = 125$

报告错误

问题4:计算立方体的体积

立方体对角线的长度为 $\sqrt{17}$ ．给出立方体的体积。

可能的答案:

$\frac{ 17 \sqrt{ 51} }{ 9} \right )$

$\frac{ 17 \sqrt{ 51} }{ 3} \right )$

289

$\frac{ 17 \sqrt{ 34} }{ 6} \right )$

$\frac{ 17 \sqrt{ 34} }{ 2} \right )$

正确答案:

$\frac{ 17 \sqrt{ 51} }{ 9} \right )$

解释：

让是立方体一条边的长度。通过勾股定理的三维推广，

$s^{2}+s^{2}+s^{2}= ( \sqrt{17})^{2}$

$3s^{2}= 17$

$s^{2}= \frac{17}{3}$

$s =\sqrt{ \frac{17}{3}}$

将边长立方得到体积:

$s^{3} =\left (\sqrt{ \frac{17}{3}} \right )^{3}$

$=\frac{ \left (\sqrt{ 17} \right )^{3}}{\left (\sqrt{3} \right )^{3}} \right )$

$=\frac{ 17 \sqrt{ 17} }{ 3 \sqrt{3} } \right )$

$=\frac{ 17 \sqrt{ 17} \cdot \sqrt{3}}{ 3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \right )$

$=\frac{ 17 \sqrt{ 51} }{ 9} \right )$

报告错误

例5:计算立方体的体积

有表面积的球体 $40 \pi$ 刻在一个立方体里。给出立方体的体积。

可能的答案:

8 0

$40 \sqrt{10}$

$80 \sqrt{10}$

$10 \sqrt{10}$

正确答案:

$80 \sqrt{10}$

解释：

立方体的边长是圆球的直径，是圆球半径的两倍。球体有表面积 $40 \pi$ ，则半径计算公式如下:

$4 \pi r^{2} = SA$

$4 \pi r^{2} = 40 \pi$

$r^{2} = 40 \pi \div 4 \pi = 10$

$r = \sqrt{10}$

球体的直径和立方体的边长是这个的两倍，或者 $2 \sqrt{10}$ ．

对这个边长求立方，得到立方体的体积:

$V= \left ( 2 \sqrt{10} \right )^{3} = 2^{3} \cdot\left ( \sqrt{10 } \right )^{3} = 8 \cdot 10 \sqrt{10} = 80 \sqrt{10}$

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例子问题6:计算立方体的体积

立方体嵌在一个有体积的球体内 $36 \pi$ ．给出立方体的体积。

可能的答案:

$24 \sqrt{3}$

其他答案中没有给出正确答案。

$12 \sqrt{6}$

$36 \sqrt{2}$

正确答案:

$24 \sqrt{3}$

解释：

圆的直径是其半径的两倍，与内切面对角线的长度重合。球体有体积 $36 \pi$ ，则半径计算公式如下:

$\frac{4}{3} \pi r^{3} = V$

$\frac{4}{3} \pi r^{3} = 36 \pi$

$r^{3} = 36\pi \div \left (\frac{4}{3} \pi \right )$

$r^{3} = 27$

$r = \sqrt[3]{27} = 3$

球体的直径——以及立方体对角线的长度——是这个的两倍，即6。

现在,让是立方体一条边的长度。通过勾股定理的三维推广，

$s^{2}+s^{2}+s^{2}=6^{2}$

$3s^{2}=36$

$s^{2}=12$

$s = \sqrt{12} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$

这个立方体的体积就是这个的立方，或者

$V=\left (2 \sqrt{3} \right )^{3} =2^{3} \left ( \sqrt{3} \right )^{3} = 8 \cdot 3 \sqrt{3} = 24 \sqrt{3}$

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示例问题7:计算立方体的体积

有体积的球体 $36 \pi$ 刻在一个立方体里。给出立方体的体积。

可能的答案:

$36 \sqrt{6}$

$72\sqrt{3}$

216

$27 \sqrt{3}$

正确答案:

216

解释：

立方体的边长是圆球的直径，是圆球半径的两倍。球体有体积 $36 \pi$ ，则半径计算公式如下:

$\frac{4}{3} \pi r^{3} = V$

$\frac{4}{3} \pi r^{3} = 36 \pi$

$r^{3} = 36\pi \div \left (\frac{4}{3} \pi \right )$

$r^{3} = 27$

$r = \sqrt[3]{27} = 3$

球体的直径和立方体的边长是这个的两倍，即6。对这个边长求立方，得到立方体的体积:

$V = 6^{3} = 216$

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例8:计算立方体的体积

立方体的一个顶点到对顶点的距离是12英尺。给出立方体的体积。

可能的答案:

$32\sqrt{3} \textup{ yd}^{3}$

$\frac{64 }{9} \textup{ yd}^{3}$

$\frac{64 \sqrt{2}}{6} \textup{ yd}^{3}$

$32\sqrt{2} \textup{ yd}^{3}$

$\frac{64 \sqrt{3}}{9} \textup{ yd}^{3}$

正确答案:

$\frac{64 \sqrt{3}}{9} \textup{ yd}^{3}$

解释：

既然我们看的是码，我们就把12英尺看成4码。

让是立方体一条边的长度。通过勾股定理的三维推广，

$s^{2}+s^{2}+s^{2}=4^{2}$

$3s^{2}=16$

$s^{2}= \frac{16}{3}$

$s^{2}= \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ 码。

将这个边长取立方得到体积:

$s^{3}= \left ( \frac{4}{\sqrt{3}} \right )^{3} = \frac{4^{3}}{(\sqrt{3})^{3}} = \frac{64 }{3\sqrt{3} }= \frac{64 \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} } = \frac{64 \sqrt{3}}{9}$ 立方码。

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问题9:计算立方体的体积

水族馆的形状像一个完美的立方体;每个玻璃面面积为 6.25 平方米。如果是推荐的 $80\%$ 容量，那么它能容纳多少水?

注意:立方米 = 1,000 升。

可能的答案:

$10,000\textup{ L}$

其他选项中没有给出正确答案。

$12,500\textup{ L}$

$15,625\textup{ L}$

$8,000\textup{ L}$

正确答案:

$12,500\textup{ L}$

解释：

一个完美的立方体有方形的面;如果一个面有6.25平方米，那么每个面的每边都是这个的平方根，也就是2.5米。容器的体积是这个的立方，或者

$2.5^{3} = 15.625$ 立方米。

它的容量是 $15.625 \times 1,000 = 15,625$ 升。

其中80%是

$15,625 \times 0.8 = 12,500$ 升。

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例子问题10:计算立方体的体积

哪个选项最接近立方体的体积和表面积 135,000 平方厘米?

可能的答案:

$3 \textup{ m}^{3}$

$5 \textup{ m}^{3}$

$3.5 \textup{ m}^{3}$

$4 \textup{ m}^{3}$

$4.5 \textup{ m}^{3}$

正确答案:

$3.5 \textup{ m}^{3}$

解释：

立方体的表面积是边长的平方的六倍，所以求出在以下方面:

$6s^{2} =135,000$

$s^{2} = 22,500$

s = 150

这是边长，单位是厘米;因为我们看的是米，所以把这个除以100就可以转换成 $150 \div 100 = 1.5$ 米。

立方体得到体积

$V =1.5^{3}= 3.375$ 立方米。

在给定的选项中，3.5立方米是最接近的。

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