对角线将正方形分成两个45-45-90的三角形，它们的边长之比为．因此，对角线就是边长．

有两种非常简单的方法来解决这个问题，这两种方法都要求你明白这实际上是一个三角形问题。

第一种方法是最快的。如果你能认出正方形的对角线是a三角形，你们可以回忆一下三角形的边长之比为．因此:

解决这个问题的第二种方法是使用勾股定理:

在哪里而且腿的长度是三角形和斜边的长度。在这种情况下，我们要解对角线，也就是它构成的三角形的斜边，所以我们要解：

所以，我们得到．

根据定义，正方形的四条边都是相同的长度。所以如果一条边的长度是时，正方形的长和宽均为．正方形的对角线正好是一个直角三角形的斜边，它的长度和宽度与另外两条边相同，所以我们可以用勾股定理来计算对角线的长度:

根据我们所知道的，我们可以用这个简单的公式算出正方形的边长:,在那里正方形的对角线是和吗是边长。所以正方形的边长是2。因此圆的半径是它的一半，即1。现在我们知道了半径，就可以计算圆的面积了,在那里是圆的半径。

为了求出正方形的面积，我们需要算出边长。这可以通过计算圆的直径来实现，实际上圆的直径就是正方形的对角线。我们可以这样做:

因此半径是2，直径是4。根据公式，我们现在知道这个正方形的对角线也是4,在那里对角线的长度和是这个正方形的边长，我们可以算出边长，是多少．因此，面积是边长的平方，即8。我们想要的最终比例是或．

根据这个正方形的给定面积，我们可以算出这个正方形的边长，也就是面积的平方根，也就是7。根据正方形对角线的公式，,在那里对角线的长度，和边的长度。因此，对角线的长度为．在这种情况下，由于正方形内切在圆中，圆的直径等于正方形的对角线。因此，我们可以求出圆的周长,或．我们只需要将结果除以2，因为我们只需要半圆的周长，还需要加上对角线的长度，它“闭合”了半圆。最后的答案是．

为了求对角线的长度，你可以使用勾股定理或者意识到一个正方形的对角线实际上是一个右等腰三角形的斜边。因此，使用捷径，你知道对角线是边长乘以．因此，答案是: