GMAT数学:离散概率

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例子问题

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例子问题1:离散型概率

参加特定比赛的赛车按12到115的顺序编号。随机选择的一辆车的十位数字是1的概率是多少?

可能的答案:

$\压裂{8}{103}$

$\压裂{7}{52}$

$\压裂{14}{103}$

$\压裂{1}{13}$

$\压裂{13}{104}$

正确答案:

$\压裂{7}{52}$

解释：

12 ~ 115共104个整数。12到19有8个整数，110到115有6个整数，十位数为1的整数共有14个。选择一辆十位数为1的车的概率是 $\压裂{14}{104}$ ＝ $\压裂{7}{52}$ ．

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例子问题1:离散型概率

三个朋友每周玩弹珠。把所有的玻璃球加起来，总共有100个。45颗弹珠是新的，其余的是旧的。30个是红色的，20个是绿色的，25个是黄色的，剩下的是白色的。随机选择的弹子是新的或黄色的概率是多少?

可能的答案:

$\dpi{100} \small \frac{47}{80}$

$\dpi{100} \small \frac{3}{13}$

$\dpi{100} \small \frac{4}{53}$

$\dpi{100} \small \frac{7}{15}$

$\dpi{100} \small \frac{1}{2}$

正确答案:

$\dpi{100} \small \frac{47}{80}$

解释：

Prob(新的OR黄色)= P(新的)+ P(黄色)- P(新的AND黄色)

概率(新)= $\dpi{100} \small \frac{45}{100}$

概率(黄色)= $\dpi{100} \small \frac{25}{100}$

问题(新的和黄色)= $\dpi{100} \small \frac{45}{100}\times \frac{25}{100}$

so P(新的或黄色)= $\ dpi{100} \小\压裂{45}{100}+ \压裂{25}{100}\压裂{45},{100}\ * \压裂{25}{100}$

$\dpi{100} \small =\frac{70}{100}-\frac{9}{80}$

$\dpi{100} \small =\frac{7}{10}-\frac{9}{80}$

$\ dpi小={100}\ \压裂{56}{80}\压裂{9},{80}= \压裂{47}{80}$

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例子问题1:离散型概率

A航班有93%的航班准点率。B航班有89%的航班准点率。A航班和B航班的准点率都是87%。至少有一个航班准点的概率是多少?

可能的答案:

0.87

1.82

0.93

0.89

0.95

正确答案:

0.95

解释：

P(A航班准点)= 0.93

P(B航班准点)= 0.89

P(A和B航班准点)= 0.87

那么P(A OR B) = P(A) + P(B) - P(A AND B) = 0.93 + 0.89 - 0.87 = 0.95

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例子问题1:离散型概率

在学校博览会上，有25个水球。10只黄色的，8只红色的，7只绿色的。你试着把气球弄破。假设你第一次打爆了一个黄色气球，那么你下一次打到的气球也是黄色的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{2}{5}$

$\frac{3}{8}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{9}{25}$

$\frac{5}{12}$

正确答案:

$\frac{3}{8}$

解释：

一开始，有25个气球，其中10个是黄色的。你撞到了一个黄色的气球。现在24个气球中还剩下9个黄色气球，所以下一个击中黄色气球的概率是

$\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$ ．

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问题#1801:解决问题

一个袋子里有7个蓝球和3个红球。连续抽取2个球，不得更换。第一个球是红色的第二个球是蓝色的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{7}{30}$

$\frac{1}{15}$

$\frac{7}{9}$

$\frac{3}{10}$

$\frac{21}{100}$

正确答案:

$\frac{7}{30}$

解释：

10个球中有7个蓝球3个红球，所以P(第一个红球)= $\frac{3}{10}$ ．现在，我们从袋子里抽出了一个红球，总共9个球中有7个蓝球和2个红球。那么P(第二个球是蓝色的)= $\frac{7}{9}$ ．把这些放在一起，P(第一个红色和第二个蓝色)= $\frac{3}{10}\cdot \frac{7}{9}=\frac{7}{30}$ ．

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问题#1801:解决问题

连续发4张牌，并且不能从普通的52张牌中更换。得到黑桃、红桃、方块和梅花的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{13}{52 }\cdot \frac{13}{51}\cdot \frac{13}{50}\cdot \frac{13}{49}$

$\frac{13}{52 }\cdot \frac{12}{51}\cdot \frac{11}{50}\cdot \frac{10}{49}$

$\frac{4}{52 }\cdot \frac{4}{51}\cdot \frac{4}{50}\cdot \frac{4}{49}$

$\frac{13}{52 }\cdot \frac{13}{52}\cdot \frac{13}{52}\cdot \frac{13}{52}$

$\frac{13}{52 }\cdot \frac{12}{52}\cdot \frac{11}{52}\cdot \frac{10}{52}$

正确答案:

$\frac{13}{52 }\cdot \frac{13}{51}\cdot \frac{13}{50}\cdot \frac{13}{49}$

解释：

一共有4种花色，每种花色有13张牌，所以P(黑桃)= $\frac{13}{52}$ ．

现在剩下51张牌:12张黑桃，13张红心，13张方块，13个梅花，所以现在P(红心)= $\frac{13}{51}$ ．

同样，现在有50张牌:12张黑桃，12张红桃，13张方块，13个梅花，所以现在P(方块)= $\frac{13}{50}$ ．

在最后一次抽之前，我们还有49张牌:12张黑桃，12张红心，12张方块，13张梅花，所以P(梅花)= $\frac{13}{49}$ ．

把这四种可能性放在一起，我们就得到了答案:

P(黑桃+红心+方块+梅花)= $\frac{13}{52 }\cdot \frac{13}{51}\cdot \frac{13}{50}\cdot \frac{13}{49}$

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例子问题1:离散型概率

掷出一个红骰子和一个白骰子。红色骰子得到4的概率是多少两个骰子得到奇数和的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{1}{12}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{5}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{36}$

正确答案:

$\frac{1}{12}$

解释：

让我们先分别看一下这两个概率。

这两个骰子有36种可能的组合:(1,1)，(1,2)，(1,3)，……(1,6);(2,1)，(2,2)，(2,3)，…;…;(6, 1)，……，(6, 6). Getting a 4 on the red die can happen 6 different ways: (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), and (4, 6). So P(4 on red die)

$=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ．

现在,骰子上得到一个奇怪的和可能发生的18种不同方式:(1、2),(1,4),(6),(2,1),(2、3),(2、5),(2),(3、4),(3、6)(4,1)(4,3),(4、5),(2),(4),(5、6),(6,1),(6,3)和(6,5),P(奇怪的总和)=

$\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$ ．

把它们放在一起，P(4在红色和奇数和)=

$\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}$ ．

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问题#1801:解决问题

当第一张牌不被替换时，从一副普通扑克牌中连续抽取2张方块的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{13}{204}$

$\frac{3}{52}$

$\frac{1}{16}$

$\frac{1}{17}$

正确答案:

$\frac{1}{17}$

解释：

先抽到菱形的概率是 $\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$

当第一张牌没有被替换时，第二次抽到菱形的概率是 $\frac{12}{51}$ ．

为了确定两个独立事件的概率，我们将它们相乘。

$P=\frac{1}{4}\cdot \frac{12}{51}=\frac{12}{204}=\frac{1}{17}$

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例子问题1:离散型概率

掷出两个公平的骰子。骰子加起来是质数的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{7}{18}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{4}{9}$

$\frac{5}{12}$

$\frac{1}{3}$

正确答案:

$\frac{5}{12}$

解释：

可以滚动的质数是2、3、5、7和11。滚动得到这些数字之一的概率 $6 \cdot 6 = 36$ 卷,是:

2: (1,1)

3:(1,2),(2,1)

5: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

7:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

11: (5,6),(6,5)

因此，在36次滚动中有15次得到质数，使得质数结果的概率为 $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

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问题1806:解决问题

掷出两个公平的六面骰子。这个和是完全平方或完全立方的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{5}{12}$

$\frac{5}{18}$

$\frac{7}{18}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{3}$

解释：

有36种可能的滚动。唯一可以滚动的完全方块是4和9;唯一可以滚动的完美立方体是8。所以滚动必须是以下之一:

4 : (1,3),(2,2),(3,1)

8 : (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

9 : (3,6), (4,5),(5,4),(6,3)

这加起来是36次中的12次，概率是 $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

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