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GED数学:圆柱体的体积

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例子问题

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例子问题1:圆柱体体积

一立方英尺等于(大约)7.5加仑。

圆形游泳池直径60英尺，深度5英尺。用上面的换算系数，它能装多少加仑水?

使用3.14 $\pi$ ．

可能的答案:

$211,950\textrm{ gal }$

$24,320\textrm{ gal}$

$7,065 \textrm{ gal }$

$105,975\textrm{ gal }$

正确答案:

$105,975\textrm{ gal }$

解释：

泳池可以被看作是一个5英尺深(或高)的圆柱体，底部直径为60英尺，半径为它的一半，即30英尺。池的容量就是这个圆柱体的体积，也就是

$V = \pi r ^{2} h = 3.14 \times 30^{2} \times 5 = 14,130$ 立方英尺。

一立方英尺等于7.5加仑，所以乘以:

$14,130 \times 7.5 = 105,975$ 加仑

例子问题2:圆柱体体积

圆柱形桶高1英尺，直径1英尺。它装满了水，然后被倒进一个三英尺高、直径两英尺的空桶里。这个桶被装满了百分之几?

可能的答案:

$8 \frac{1}{3} \%$

$16\frac{2}{3} \%$

$12 \%$

$18 \%$

正确答案:

$8 \frac{1}{3} \%$

解释：

圆柱体的体积是

$V = \pi r^{2}h$

桶有高度 h = 1 直径是1，然后是半径 $r = \frac{1}{2}$ ；体积是

$V = \pi r^{2}h = \pi \cdot \left (\frac{1}{2} \right ) ^{2} \cdot 1 =\frac{1}{4} \pi$ 立方英尺

桶有高度 h = 3 直径是2，然后是半径 r = 1 ；体积是

$V = \pi r^{2}h = \pi \cdot 1 ^{2} \cdot 3= 3\pi$

桶的体积为

$\frac{\frac{1}{4}\pi}{3 \pi} \times 100 \%$

$=\left ( \frac{1}{4}\pi \div 3 \pi \right )\times 100 \%$

$=\left ( \frac{\pi}{4}\times \frac{1}{3 \pi} \right )\times 100\%$

$= \frac{1}{12} \times 100\% = 8 \frac{1}{3} \%$

问题42:三维几何

水箱的形状是一个封闭的圆柱体外高度30英尺，底座半径10英尺;这个水箱总共有三英寸厚。精确到100，这个水箱能装多少立方英尺的水?

你可以使用3.14 $\pi$ ．

可能的答案:

$9,400 \textrm{ ft}^{3}$

$9,000 \textrm{ ft}^{3}$

$8,800 \textrm{ ft}^{3}$

$8,400 \textrm{ ft}^{3}$

正确答案:

$8,800 \textrm{ ft}^{3}$

解释：

3英寸等于0.25英尺，所以油箱内部的高度是

$30 - 2 \times 0.25 = 30 - 0.5 = 29.5$ 英寸。

罐体内部半径为

10 - 0.25 = 9.75 英寸。

水箱的水量就是水箱内部的体积，也就是

$V = \pi r^{2}h$

$V \approx 3.14 \cdot 9.75 ^{2} \cdot 29.5$

$V \approx 3.14 \cdot 9.75 ^{2} \cdot 29.5 \approx 8,806$ 立方英尺。

这是8800立方英尺。

问题4:圆柱体体积

上面的图是一个圆柱形的桶。该公司想要制造一个体积是原来三倍的圆柱形桶，但底部的半径只有原来的两倍。这个新浴缸应该有多高?

可能的答案:

$60\textrm{ in}$

$26 \frac{2}{3}\textrm{ in}$

$30\textrm{ in}$

$53 \frac{1}{3}\textrm{ in}$

正确答案:

$30\textrm{ in}$

解释：

给定桶的体积可以用下面的公式表示，设置 r = 25 而且 h= 40 ：

$V = \pi r^{2} h$

$V = \pi \cdot 25^{2} \cdot 40$

$V = 25,000 \pi$ 立方英寸。

新浴缸的体积应该是这个的三倍，或者

$V = 25,000 \pi \cdot 3 = 75,000 \pi$ 立方英寸。

半径是上面桶的两倍，这将是

$r = 25 \cdot 2 = 50$ 英寸。

因此，高度的计算方法如下:

$\pi r^{2} h = V$

$\pi \cdot 50^{2} \cdot h = 75,000 \pi$

$2,500 \pi h = 75,000 \pi$

$h = \frac{75,000 \pi}{2,500 \pi} = 30$ 英寸

问题51:三维几何

参考上图中的圆柱体。

圆锥的体积是圆柱的两倍，高度是圆柱的两倍。圆锥底部的半径是多少(如果适用的话，最接近十分之一英寸)?

可能的答案:

$75 \textup{ in}$

$35.4\textup{ in}$

$43.3 \textup{ in}$

$50\textup{ in}$

正确答案:

$43.3 \textup{ in}$

解释：

圆柱体体积的公式为

$v = \pi r^{2} h$

在哪里而且分别是圆柱的基底半径和高度。

集 r = 25, h = 40 在求圆柱体体积的公式中:

$v = \pi r^{2} h$

$v = \pi \cdot 25^{2} \cdot 40 = \pi \cdot 625 \cdot 40 = 25,000 \pi$

圆柱体的体积是这个的两倍，或者 $50,000 \pi$ 高度是圆柱体高度的两倍，也就是80英寸。

圆锥体积的公式是

$V =\frac{ \pi r^{2} h}{3}$ ，

所以我们设置 $V = 50,000 \pi$ 而且 h = 80 解出：

$V =\frac{ \pi r^{2} h}{3}$

$\frac{ \pi r^{2} \cdot 80}{3} = 50,000 \pi$

$\frac{ \pi r^{2} \cdot 80}{3} \cdot \frac{3}{80 \pi} = 50,000 \pi \cdot \frac{3}{80 \pi}$

$r^{2} = \frac{150,000 \pi}{80 \pi} = 1,875$

$r = \sqrt{1,875} \approx 43.3$ 英寸。

问题52:三维几何

上面的图是一个圆柱形的桶。浴缸的储水量为40%。到最近的立方脚它还能装多少水?

可能的答案:

$18 \textup{ ft}^{3}$

$45 \textup{ ft}^{3}$

$27 \textup{ ft}^{3}$

$75 \textup{ ft}^{3}$

正确答案:

$27 \textup{ ft}^{3}$

解释：

气缸的体积可以用以下公式计算，设定 r = 25 而且 h= 40 ：

$V = \pi r^{2} h$

$V \approx 3.14 \cdot 25^{2} \cdot 40 \approx 78,539.8$ 立方英寸。

浴缸是满的40%，所以它是空的60%;它可以容纳

$78,539.8 \times 0.60 \approx 47,123.9$ 更多立方英寸的水。

这道题要求的是立方英尺的数量，所以除以12的立方，即1728:

$47,123.9 \div 1,728 \approx 27.2$

正确的答案是27立方英尺。

问题51:三维几何

圆形游泳池直径40英尺，深度6英尺。它能装多少立方英尺的水?(最近立方英尺)

的值使用3.14 $\pi$ ．

可能的答案:

$15,072 \textrm{ ft}^{3}$

$1,507 \textrm{ ft}^{3}$

$754 \textrm{ ft}^{3}$

$7,536 \textrm{ ft}^{3}$

正确答案:

$7,536 \textrm{ ft}^{3}$

解释：

泳池可以被看作是一个深(或高)6英尺的圆柱体，底部直径40英尺，半径是它的一半，即20英尺。池的容量就是这个圆柱体的体积，也就是

$V = \pi r ^{2} h \approx 3.14 \times 20^{2} \times 6 = 7,536$ 立方英尺。

问题52:三维几何

圆形游泳池直径20米，深度2.5米。它能装多少立方米的水?

使用3.14 $\pi$ ．

可能的答案:

$314 \textrm{ m}^{3}$

$157 \textrm{ m}^{3}$

$1,570 \textrm{ m}^{3}$

$785 \textrm{ m}^{3}$

正确答案:

$785 \textrm{ m}^{3}$

解释：

泳池可以被看作是一个深(或高)2.5米的圆柱体，底部直径20米，半径是这个的一半，或10米。池的容量就是这个圆柱体的体积，也就是

$V = \pi r ^{2} h = 3.14 \times 10^{2} \times 2.5 = 785$ 立方米。

问题53:三维几何

求一个半径为2，高为11的圆柱体的体积。

可能的答案:

$52\pi$

$33\pi$

$44\pi$

$60\pi$

$22\pi$

正确答案:

$44\pi$

解释：

写出圆柱体的体积。

$V=\pi r^2 h$

代入尺寸。

$V=\pi r^2 h = \pi (2)^2(11) = \pi (4)(11) = 44\pi$

答案是: $44\pi$

问题54:三维几何

求一个半径为2，高为15的圆柱体的体积。

可能的答案:

$30\pi$

$60\pi$

$120\pi$

$450\pi$

$90\pi$

正确答案:

$60\pi$

解释：

写出圆柱体体积的公式。

$V=\pi r^2 h$

代入半径和高度。

$V=\pi (2)^2 (15) = 60\pi$

答案是: $60\pi$

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