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微分方程:周期函数的变换

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例子问题

例子问题2:拉普拉斯变换

求周期函数的拉普拉斯变换。

$S(t)=\left\{\begin{matrix} 1,& 0\leq2\\ 0, & 2\leq4 \end{matrix}\right.$

可能的答案:

$\frac{1}{s(1-e^{-2s})(1+e^{-s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1-e^{-s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{2s})(1+e^{-s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{-s})}$

正确答案:

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{-s})}$

解释：

这个分段函数叫做方波。这个函数的周期是它返回到它的起始点的长度。

对于这个函数

$S(t)=\left\{\begin{matrix} 1,& 0\leq2\\ 0, & 2\leq4 \end{matrix}\right.$

它的周期是

T=4 ．

此外,

f(t+4)=f(t)

利用周期函数变换定理，

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} f(t) \end{Bmatrix}=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_0^T e^{-sT}f(t)dt$

问题可以通过以下方法解决。

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} S(t) \end{Bmatrix}=\frac{1}{1-e^{-4s}}\int_0^4 e^{-st}S(t)dt$

$\\=\frac{1}{1-e^{-4s}}\left[ \int_0^2 e^{-st}\cdot 1 dt+\int_2^4 e^{-st}\cdot 0dt \right] \\\\=\frac{1}{1-e^{-4s}}\frac{1-e^{-s}}{s}\\\\\leftarrow 1-e^{-4s}=(1+e^{-2s})(1-e^{-2s})\\\\\leftarrow (1-e^{-2s})=(1+e^{-s})(1-e^{-s}) \\\\=\frac{1-e^{-s}}{s(1+e^{-2s})(1-e^{-s})(1+e^{-s})} \\\\=\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{-s})}$

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