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微分方程:拉普拉斯变换

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例子问题

问题1:拉普拉斯变换的定义

求下面这个函数的拉普拉斯变换。

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}$

可能的答案:

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+3}, s>-5$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+5}, s>5$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+5}, s>-5$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s-5}, s>-5$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+5}, s<-5$

正确答案:

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s+5}, s>-5$

解释：

求下面这个函数的拉普拉斯变换

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t}\end{Bmatrix}$

用基本函数的变换表示，

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}=\frac{1}{s}$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{at} \end{Bmatrix}=\frac{1}{s-a}$

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} e^{-5t} \end{Bmatrix}=\int_0^\infty e^{-st}e^{-5t}dt=\int_0^\infty e^{-(s+5)t} dt$

$\\=\frac{-e^{-(s+5)t}}{s+5}\bigg|_0^\infty \\\\=\frac{1}{s+5}, s>-5$

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问题2:拉普拉斯变换

求周期函数的拉普拉斯变换。

$S(t)=\left\{\begin{matrix} 1,& 0\leq2\\ 0, & 2\leq4 \end{matrix}\right.$

可能的答案:

$\frac{1}{s(1-e^{-2s})(1+e^{-s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1-e^{-s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{2s})(1+e^{-s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{s})}$

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{-s})}$

正确答案:

$\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{-s})}$

解释：

这个特殊的分段函数叫做方波。这个函数的周期是函数返回到起始点的长度。

对于这个特定函数

$S(t)=\left\{\begin{matrix} 1,& 0\leq2\\ 0, & 2\leq4 \end{matrix}\right.$

它有一段时间

T=4 ．

此外,

f(t+4)=f(t)

利用周期函数变换定理，

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} f(t) \end{Bmatrix}=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_0^T e^{-sT}f(t)dt$

这个问题可以这样解决。

$\mathcal{L}\begin{Bmatrix} S(t) \end{Bmatrix}=\frac{1}{1-e^{-4s}}\int_0^4 e^{-st}S(t)dt$

$\\=\frac{1}{1-e^{-4s}}\left[ \int_0^2 e^{-st}\cdot 1 dt+\int_2^4 e^{-st}\cdot 0dt \right] \\\\=\frac{1}{1-e^{-4s}}\frac{1-e^{-s}}{s}\\\\\leftarrow 1-e^{-4s}=(1+e^{-2s})(1-e^{-2s})\\\\\leftarrow (1-e^{-2s})=(1+e^{-s})(1-e^{-s}) \\\\=\frac{1-e^{-s}}{s(1+e^{-2s})(1-e^{-s})(1+e^{-s})} \\\\=\frac{1}{s(1+e^{-2s})(1+e^{-s})}$

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