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微分方程:二阶边值问题

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例子问题

例子问题1:常微分方程的数值解

求二阶边值问题的解。 y'' -2y' + 2y = 0 ， y(0) = 0 ， $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ ．

可能的答案:

$y = 10e^{2t}\sin(2t)$

$y = e^{t}\sin(t) - e^t\cos(t)$

$y = e^{t -\frac{\pi}{2}}\sin(t)$

边值问题没有解。

$y = 5e^t\sin(t) + 3e^t\cos(t)$

正确答案:

$y = e^{t -\frac{\pi}{2}}\sin(t)$

解释：

的特征方程 y'' -2y' + 2y = 0 是 $\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0$ ，其解为 $\frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i$ ．因此，齐次问题的通解是 $y = c_1e^t\sin(t) + c_2e^t\cos(t)$ ．代入条件，我们得到 y(0) = c_2 = 0 ，所以 $y = c_1e^t\sin(t)$ ．代入第二个条件，我们得到 $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = c_1e^{\frac{\pi}{2}} = 1$ 这 $c_1 = e^{-\frac{\pi}{2}}$ ．

因此，最终的解决方案是 $y = e^{t -\frac{\pi}{2}}\sin(t)$ ．

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例子问题1:常微分方程的数值解

求二阶边值问题的解。 y'' + 9y = 0 ， y(0) = 0 ， $y\left(2\pi\right) = 1$ ．

可能的答案:

$y = 3\sin(3t)$

$y = 3\cos(3t)$

边值问题没有解。

$y = \sin(3t) + 2 \cos(3t)$

$y = 4\sin(3t) - \cos(3t)$

正确答案:

边值问题没有解。

解释：

的特征方程 y'' + 9y = 0 是 $\lambda^2 + 9 = 0$ 解决方案 $\pm 3i$ ．这告诉我们齐次方程的解是 $y = c_1\sin(3t) + c_2\cos(3t)$ ．代入条件，我们得到 y(0) = c_2 = 0 这 $y = c_1\sin(3t)$ ．代入第二个条件，我们有 $y(2\pi) = 0 = 1$ 这显然是错误的。

这个问题说明了初值问题和边值问题之间的重要区别:边值问题并不总是有解。这就是一个我们找不到的例子 c_1, c_2 满足条件。

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