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微分方程:常微分方程的数值解

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例子问题

问题1:常微分方程的数值解

用欧拉法计算近似值 y(0.2) 在哪里 y(x) 是下式初值问题的解。

y''+xy'+y=0

y(0)=2, y'(0)=3

可能的答案:

$y(0.2)\approx2.58$

$y(0.2)\approx2.458$

$y(0.2)\approx2.542$

$y(0.2)\approx2.5$

$y(0.2)\approx2.584$

正确答案:

$y(0.2)\approx2.58$

解释：

用欧拉法求函数

y''+xy'+y=0

y(0)=2, y'(0)=3

首先代入

$\\y'=u \\u'=-xu-y$

因此

$\\y_{n+1}=y_n+hu_n \\u_{n+1}=u_n+h[-x_nu_n-y_n]$

在哪里表示步长。

让

$\\h=0.1 \\y_0=2 \\u_0=3$

将这些值代入前面的公式中，并以这种方式继续下去，直到得到的近似值 y(0.2) 是发现。

$\\y_1=y_0+(0.1)u_0=2+(0.1)(3)=2.3 \\u_1=u_0+(0.1)[-x_0u_0-y_0]=3+(0.1)[0(2)-2]=2.8 \\y_2=y_1+(0.1)u_1=2.3+(0.1)(2.8)=2.58 \\u_2=u_1+(0.1)[-x_1u_1-y_1]=2.8+(0.1)[-0.1(2.8)-2.3]=2.542$

因此,

$y(0.2)\approx2.58$

报告错误

问题51:微分方程

近似 $y(\pi)$ 为 $y = \cos(y)(2-y)$ 有时间步长 $h = \frac{\pi}{4}$ 和 y(0) = 0 。

可能的答案:

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{8}$

正确答案:

$\frac{\pi}{2}$

解释：

近似 $y(\pi)$ 为 $y = \cos(y)(2-y)$ 有时间步长 $h = \frac{\pi}{4}$ 和 y(0) = 0 。

欧拉近似的公式 $\mu(t+h) = \mu (t) + h \cdot f(t, \mu(t))$ 。

插入，我们有

$\mu(\frac{\pi}{4}) = \mu (0) + \frac{\pi}{4}f(0, \mu(0)) = 0 + \frac{\pi}{4}(\cos(0)(2-0)) = \frac{\pi}{2}$

$\mu(\frac{\pi}{2}) = \mu (\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}f(\frac{\pi}{4}, \mu(\frac{\pi}{4})) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}(\cos(\frac{\pi}{2})(2-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$

在这里，我们可以看到我们被困在水平切线上(当使用较大的时间步长时，欧拉方法的失败)。由于函数不依赖于t，我们将继续在水平线上移动剩下的欧拉近似。因此 $\mu(\pi) = \frac{\pi}{2} \approx y(\pi)$ 。

报告错误

问题1:常微分方程的数值解

用欧拉法计算近似值 y(0.2) 在哪里 y(x) 是下式初值问题的解。

y''+xy'+y=0

y(0)=2, y'(0)=3

可能的答案:

$y(0.2)\approx2.5$

$y(0.2)\approx2.58$

$y(0.2)\approx2.542$

$y(0.2)\approx2.458$

$y(0.2)\approx2.584$

正确答案:

$y(0.2)\approx2.58$

解释：

用欧拉法求函数

y''+xy'+y=0

y(0)=2, y'(0)=3

首先代入

$\\y'=u \\u'=-xu-y$

因此

$\\y_{n+1}=y_n+hu_n \\u_{n+1}=u_n+h[-x_nu_n-y_n]$

在哪里表示步长。

让

$\\h=0.1 \\y_0=2 \\u_0=3$

将这些值代入前面的公式中，并以这种方式继续下去，直到得到的近似值 y(0.2) 是发现。

$\\y_1=y_0+(0.1)u_0=2+(0.1)(3)=2.3 \\u_1=u_0+(0.1)[-x_0u_0-y_0]=3+(0.1)[0(2)-2]=2.8 \\y_2=y_1+(0.1)u_1=2.3+(0.1)(2.8)=2.58 \\u_2=u_1+(0.1)[-x_1u_1-y_1]=2.8+(0.1)[-0.1(2.8)-2.3]=2.542$

因此,

$y(0.2)\approx2.58$

报告错误

问题1:常微分方程的数值解

使用隐式的用欧拉法近似 y(3) 为 y' = 5y ，考虑到 y(0) = 4 ，使用时间步长为 h = 1.

可能的答案:

$\frac{1}{32}$

$-\frac{1}{16}$

$\frac{1}{16}$

正确答案:

$-\frac{1}{16}$

解释：

在隐式方法中，增加的量由 $h \cdot f(t_{i+1}, y_{i+1})$ 在这种情况下 $\mu_i = \mu_{i-1}+ 1 \cdot (5\mu_i)$ 。注意，你不能直接代入这种形式的方程，因为它是隐式的 $\mu_i$ 是在两边。值得庆幸的是，这是一个非常简单的形式，您可以显式地求解。否则，你就得用近似法比如牛顿法来求 $\mu_i$ 。明确地求解，我们有 $-4\mu_i = \mu_{i-1}$ 和 $\mu_i = -\frac{\mu_{i-1}}{4}$ 。

因此, $y(1) \approx \mu_1 = -\frac{4}{4} = -1$

$y(2) \approx \mu_2 = -\frac{-1}{4} = \frac{1}{4}$

$y(3) \approx \mu_3 = -\frac{\frac{1}{4}}{4} = -\frac{1}{16}$

这样，我们就得到了最后的答案 $-\frac{1}{16}$

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问题1:欧拉方法

用欧拉法的两个步骤 h=0.1 在

$y' = x\sqrt{y} \ \ \ y(1) = 4$

到小数点后三位

可能的答案:

4.428

4.420

4.408

4.413

4.425

正确答案:

4.425

解释：

欧拉法告诉我们

$y_{n+1} = y_n + hf(x_n,y_n) = y_n + (0.1)x_n\sqrt{y_n}$

迈出一步

$y_1 = y_0 + (0.1)x_0\sqrt{y_0} = 4 + (0.1)(1)\sqrt{4} = 4.2$

再走一步

$y_2 = y_1 + (0.1)x_1\sqrt{y_1} = 4.2 + (0.1)(1.1)\sqrt{4.2} \approx 4.425$

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问题1:常微分方程的数值解

Adams-Bashforth两步逼近法采用近似格式 $y_{i+2} = y_{i+1} - \frac{1}{2}hf(t_i, y_i) + \frac{3}{2}hf(t_{i+1}, y_{i+1})$ 。

考虑到 y(0) = 1 和 y(1) = 2 ，使用Adams-Bashforth方法进行近似 y(3) 为 y = -y^2 步长为 h = 1.

可能的答案:

$\frac{33}{4}$

$\frac{133}{8}$

$\frac{97}{8}$

$-\frac{159}{8}$

$\frac{55}{8}$

正确答案:

$-\frac{159}{8}$

解释：

在这个问题中，我们有两个点，所以我们可以马上开始代入。如果不是，我们可以近似 $y_{i+1}$ 用显式欧拉法求解 $y_{i}$ 。

插进 $y_{i+2} = y_{i+1} - \frac{1}{2}hf(t_i, y_i) + \frac{3}{2}hf(t_{i+1}, y_{i+1})$ ，我们有

$y(2) \approx \mu_2 = 2 -\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot -1^2 + \frac{3}{2}\cdot 1 \cdot -2^2 = 2 +\frac{1}{2} - 6 = -\frac{7}{2}$

$y(3)\approx \mu_3 = -\frac{7}{2} + \frac{1}{2}\cdot4 - \frac{3}{2}\cdot \frac{49}{4} =-\frac{159}{8}$ 。

注意，对于如此大的时间步长，我们的近似可能不是很好，但是无论精度如何，过程都不会改变。

$y(3)\approx -\frac{159}{8}$

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问题1:常微分方程的数值解

求二阶边值问题的解。 y'' -2y' + 2y = 0 ， y(0) = 0 ， $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ 。

可能的答案:

$y = 10e^{2t}\sin(2t)$

$y = e^{t}\sin(t) - e^t\cos(t)$

$y = e^{t -\frac{\pi}{2}}\sin(t)$

边值问题没有解。

$y = 5e^t\sin(t) + 3e^t\cos(t)$

正确答案:

$y = e^{t -\frac{\pi}{2}}\sin(t)$

解释：

的特征方程 y'' -2y' + 2y = 0 是 $\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0$ ，解为 $\frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i$ 。因此，齐次问题的通解为 $y = c_1e^t\sin(t) + c_2e^t\cos(t)$ 。代入条件，我们得到 y(0) = c_2 = 0 ，所以 $y = c_1e^t\sin(t)$ 。代入第二个条件，我们得到 $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = c_1e^{\frac{\pi}{2}} = 1$ 这 $c_1 = e^{-\frac{\pi}{2}}$ 。

因此，最终的解决方案是 $y = e^{t -\frac{\pi}{2}}\sin(t)$ 。

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问题1:常微分方程的数值解

求二阶边值问题的解。 y'' + 9y = 0 ， y(0) = 0 ， $y\left(2\pi\right) = 1$ 。

可能的答案:

$y = 3\sin(3t)$

$y = 3\cos(3t)$

边值问题没有解。

$y = \sin(3t) + 2 \cos(3t)$

$y = 4\sin(3t) - \cos(3t)$

正确答案:

边值问题没有解。

解释：

的特征方程 y'' + 9y = 0 是 $\lambda^2 + 9 = 0$ 解为 $\pm 3i$ 。这告诉我们齐次方程的解是 $y = c_1\sin(3t) + c_2\cos(3t)$ 。代入条件，我们得到 y(0) = c_2 = 0 如此......以至于...... $y = c_1\sin(3t)$ 。代入第二个条件，我们有 $y(2\pi) = 0 = 1$ 这显然是错误的。

这个问题证明了初值问题和边值问题的重要区别:边值问题并不总是有解。这是我们找不到的一个这样的例子 c_1, c_2 满足我们的条件。

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