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微分方程:欧拉法

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例子问题

例子问题1:常微分方程的数值解

用欧拉方法计算的近似 y(0.2) 在哪里 y(x) 是初值问题的解，如下所示。

y''+xy'+y=0

y(0)=2, y'(0)=3

可能的答案:

$y(0.2)\approx2.58$

$y(0.2)\approx2.458$

$y(0.2)\approx2.542$

$y(0.2)\approx2.5$

$y(0.2)\approx2.584$

正确答案:

$y(0.2)\approx2.58$

解释：

用欧拉法求函数

y''+xy'+y=0

y(0)=2, y'(0)=3

首先做替换

$\\y'=u \\u'=-xu-y$

因此

$\\y_{n+1}=y_n+hu_n \\u_{n+1}=u_n+h[-x_nu_n-y_n]$

在哪里表示步长。

让

$\\h=0.1 \\y_0=2 \\u_0=3$

将这些值代入前面的公式，并继续这样做，直到得到的近似值 y(0.2) 是发现。

$\\y_1=y_0+(0.1)u_0=2+(0.1)(3)=2.3 \\u_1=u_0+(0.1)[-x_0u_0-y_0]=3+(0.1)[0(2)-2]=2.8 \\y_2=y_1+(0.1)u_1=2.3+(0.1)(2.8)=2.58 \\u_2=u_1+(0.1)[-x_1u_1-y_1]=2.8+(0.1)[-0.1(2.8)-2.3]=2.542$

因此,

$y(0.2)\approx2.58$

报告错误

问题51:微分方程

近似 $y(\pi)$ 为 $y = \cos(y)(2-y)$ 随着时间的推移 $h = \frac{\pi}{4}$ 而且 y(0) = 0 ．

可能的答案:

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{8}$

正确答案:

$\frac{\pi}{2}$

解释：

近似 $y(\pi)$ 为 $y = \cos(y)(2-y)$ 随着时间的推移 $h = \frac{\pi}{4}$ 而且 y(0) = 0 ．

欧拉近似的公式 $\mu(t+h) = \mu (t) + h \cdot f(t, \mu(t))$ ．

代入，我们有

$\mu(\frac{\pi}{4}) = \mu (0) + \frac{\pi}{4}f(0, \mu(0)) = 0 + \frac{\pi}{4}(\cos(0)(2-0)) = \frac{\pi}{2}$

$\mu(\frac{\pi}{2}) = \mu (\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}f(\frac{\pi}{4}, \mu(\frac{\pi}{4})) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}(\cos(\frac{\pi}{2})(2-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$

在这里，我们可以看到我们被困在水平切线上(当使用更大的时间步长时，欧拉方法的失败)。由于函数不依赖于t，我们将在欧拉近似的其余部分继续在水平线上移动。因此 $\mu(\pi) = \frac{\pi}{2} \approx y(\pi)$ ．

报告错误

例子问题1:常微分方程的数值解

用欧拉方法计算的近似 y(0.2) 在哪里 y(x) 是初值问题的解，如下所示。

y''+xy'+y=0

y(0)=2, y'(0)=3

可能的答案:

$y(0.2)\approx2.5$

$y(0.2)\approx2.58$

$y(0.2)\approx2.542$

$y(0.2)\approx2.458$

$y(0.2)\approx2.584$

正确答案:

$y(0.2)\approx2.58$

解释：

用欧拉法求函数

y''+xy'+y=0

y(0)=2, y'(0)=3

首先做替换

$\\y'=u \\u'=-xu-y$

因此

$\\y_{n+1}=y_n+hu_n \\u_{n+1}=u_n+h[-x_nu_n-y_n]$

在哪里表示步长。

让

$\\h=0.1 \\y_0=2 \\u_0=3$

将这些值代入前面的公式，并继续这样做，直到得到的近似值 y(0.2) 是发现。

$\\y_1=y_0+(0.1)u_0=2+(0.1)(3)=2.3 \\u_1=u_0+(0.1)[-x_0u_0-y_0]=3+(0.1)[0(2)-2]=2.8 \\y_2=y_1+(0.1)u_1=2.3+(0.1)(2.8)=2.58 \\u_2=u_1+(0.1)[-x_1u_1-y_1]=2.8+(0.1)[-0.1(2.8)-2.3]=2.542$

因此,

$y(0.2)\approx2.58$

报告错误

例子问题1:常微分方程的数值解

使用隐式的欧拉近似法 y(3) 为 y' = 5y ，考虑到 y(0) = 4 的时间步长 h = 1.

可能的答案:

$\frac{1}{32}$

$-\frac{1}{16}$

$\frac{1}{16}$

正确答案:

$-\frac{1}{16}$

解释：

在隐式方法中，要增加的量由 $h \cdot f(t_{i+1}, y_{i+1})$ ，或者在这种情况下 $\mu_i = \mu_{i-1}+ 1 \cdot (5\mu_i)$ ．注意，你不能直接代入这种形式的方程，因为它是隐式的: $\mu_i$ 两边都有。值得庆幸的是，这是一个非常简单的表单，可以显式地求解。否则，你就得用近似的方法比如牛顿法来求 $\mu_i$ ．明确求解，我们有 $-4\mu_i = \mu_{i-1}$ 而且 $\mu_i = -\frac{\mu_{i-1}}{4}$ ．

因此, $y(1) \approx \mu_1 = -\frac{4}{4} = -1$

$y(2) \approx \mu_2 = -\frac{-1}{4} = \frac{1}{4}$

$y(3) \approx \mu_3 = -\frac{\frac{1}{4}}{4} = -\frac{1}{16}$

因此，我们有一个最终的答案 $-\frac{1}{16}$

报告错误

例子问题1:欧拉方法

使用欧拉方法的两个步骤 h=0.1 在

$y' = x\sqrt{y} \ \ \ y(1) = 4$

小数点后三位

可能的答案:

4.428

4.420

4.408

4.413

4.425

正确答案:

4.425

解释：

欧拉方法告诉我们

$y_{n+1} = y_n + hf(x_n,y_n) = y_n + (0.1)x_n\sqrt{y_n}$

迈出一步

$y_1 = y_0 + (0.1)x_0\sqrt{y_0} = 4 + (0.1)(1)\sqrt{4} = 4.2$

再迈出一步

$y_2 = y_1 + (0.1)x_1\sqrt{y_1} = 4.2 + (0.1)(1.1)\sqrt{4.2} \approx 4.425$

报告错误

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