为了全等，三角形的同位角和边长必须相同。三角形的对应边是在不同三角形上相同位置的相同长度的边。这在下面的两个三角形中用红色表示。三角形的同位角是不同三角形上相同位置上的相同度数的角。这在下面的两个三角形中用蓝色表示。

一般来说，当形状相同但大小不同时，形状是相似的。如果它们的大小完全相同，它们就会相等。要有相同的形状，即使尺寸不同，形状也需要有相同的角度。以下面的两个三角形为例，它们的角度相等，但大小不同。因此这些三角形是相似的。

如果两个直角三角形的边和斜边相等我们可以说它们有两条相等的边。因为这两个三角形都是直角三角形，我们也知道它们有一个相等的角(它们的90度角)。所以这两个三角形有两对相等的边和一对相等的角。根据SAS定理，这些直角三角形是全等的。当两个直角三角形有相等的斜边和相等的边时，它们是相等的，这被称为HL定理。

边边边(SSS)定理指出，如果两个三角形的三个对应边相等，则两个三角形是全等的。如果你想一下，为了使这三条对应的边相等它们必须以相同的角度相交使这些三角形相等。下面是基于Philoh方法的详细证明，以便更好地解释。注意，对于这个定理，还有比这更有力的证明，但是对于这个定理的理解水平，这个证明是最直观的。

证明:

(我们想证明，如果两个三角形的三条边都相等，那么这两个三角形是全等的)

考虑两个三角形和．假设如下:

自我们可以旋转三角形一致和．我们称它为公共线段为简化。

现在我们从顶点开始画一条线到顶点．这就得到了两个等腰三角形。回想一下等腰三角形的定义，相邻的两条边和两个角是相等的。所以和．

我们可以推导出来．我们现在知道这两个给定三角形至少有两条边相等而且这两条边所围的角是相等的。根据SAS定理，这两个三角形是全等的。

说明:详细说明如下:

为了解出和下面，我们需要使用相似三角形成比例的事实。这允许我们建立边长的比率来求解未知变量:

求出：

所以我们可以建立下面的比率

通过交叉相乘来消去分数

所以

求出：

所以我们可以建立下面的比率

通过交叉相乘来消去分数

所以

自平行于，点相交形成两对对顶角。我们现在可以说和根据对顶角的定义是相等的。请注意,和是内错角。根据定义,．

我们有两个相等的同位角。相似三角形的角-角(AA)定理表明，如果两个三角形有两对相等的同位角，则这两个三角形是相似的。根据AA定理，三角形和是相似的。

自平行于，点相交形成两对对顶角。我们现在可以说和根据对顶角的定义是相等的。请注意,和是内错角。根据定义,．我们有两个相等的同位角。相似三角形的角-角(AA)定理表明，如果两个三角形有两对相等的同位角，则这两个三角形是相似的。根据AA定理，三角形和是相似的。为了解出，我们需要利用相似三角形成比例的事实。这允许我们建立要求解的边的长度比：

我们可以设置以下比率:

交叉相乘来消去分数

所以长度

根据相似三角形的边角边定理(SAS)，如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条对应边成正比，并且这两条边之间已知的夹角对于每个三角形都是相同的，那么这些三角形就是相似三角形。

我们看到4的边长和8的边长是成比例的因为8就是4x2。6和12的边长也是一样，12就是6x2。那么两个三角形上这两条边之间的夹角是相等的。根据相似三角形的SAS定理，这两个三角形是相等的。