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Common Core:高中-几何:正弦余弦定律的应用:CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.11

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例子问题

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问题65:相似度，直角三角形和三角学

你的朋友想为她的客厅做一面木制框架的三角形镜子。她已经有了两个6英寸长的木块。她把这些边拼成45度角。她应该把第三边剪成什么长度?四舍五入到小数点后第二位。

可能的答案:

4.59

7.95

1.32

3.78

正确答案:

4.59

解释：

因为我们知道两条边和它们的邻接角，我们可以用余弦定理来解出第三条边。回想余弦定理的公式是 A^2 + B^2 - 2ABcos(c) = C^2 ．我们将根据问题定义变量。

我们会让

A = 6

B = 6

c = 45

我们怎么知道的是我们应该用的角度吗?是边的正对角吗(未知的边)所以这是公式中需要用到的角度。现在我们将把这些值代入公式。

A^2 + B^2 - 2ABcos(c) = C^2

$\implies 6^2 + 6^2 - (2)(6)(6)cos(45) = C^2$

$\implies 36 + 36 - 72(\frac{1}{\sqrt{2}}) = C^2$

$\implies 72 - 36\sqrt{2} = C^2$

$\implies 36 + 36 - 72(\frac{1}{\sqrt{2}}) = C^2$ $\implies 36 + 36 - 72(\frac{1}{\sqrt{2}}) = C^2$ $\implies 21.0883 = C^2$

$\implies 4.59 = C$

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第66个问题:相似度，直角三角形和三角学

已知一个三角形，有两条已知边和两个已知角。用哪种方法可以解出未知的边和角?

可能的答案:

就是余弦定理

这就是正弦定律

余弦定理和正弦定理

也不是余弦定理和正弦定理

正确答案:

余弦定理和正弦定理

解释：

以下面的三角形为例:

首先，我们可以简单地算出第三个角因为我们知道三角形的三个角和一定是180度。所以

$60 + 60 + \gamma = 180$

$\implies \gamma = 60$

现在我们有足够的信息来使用这两种法律。我们将从余弦定理开始 A^2 + B^2 - 2ABcos(c) = C^2 ．

我们会让

A=7

B=7

C=60

现在我们将把这些值代入公式

A^2 + B^2 - 2ABcos(c) = C^2

$\implies 7^2 + 7^2 - (2)(7)(7)cos(60) = C^2$

$\implies 49 + 49 - 98(\frac{1}{2})= C^2$

$\implies 98 - 49 = C^2$

$\implies 49 = C^2$

$\implies 7 = C^2$

我们也可以用正弦定理证明同样的答案。我们的正弦定理公式是 $\frac{A}{sin(\gamma)} = \frac{B}{sin(\alpha)} = \frac{C}{sin(\beta)}$ ．

我们将:

A=7

C=7

$\alpha = 60$

$\beta = 60$

$\gamma = 60$

我们可以建立关系 $\frac{A}{sin(\gamma)} = \frac{B}{sin(\alpha)}$

$\frac{A}{sin(\gamma)} = \frac{B}{sin(\alpha)}$

$\implies \frac{7}{sin(60)} = \frac{B}{sin(60)}$

$\implies 7sin(60) = Bsin(60)$ (通过交叉相乘)

$\implies \frac{7sin(60)}{sin(60)} = B$

$\implies 7 = B$ （ sin(60) 取消)

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第67个问题:相似度，直角三角形和三角学

判断题:你看到的是一个钝角三角形。已知两条边长和它们相邻的角。你们可以用余弦定理算出第三条边的长度。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

真正的

解释：

只看公式 A^2 + B^2 - 2ABcos(c) = C^2 我们可以看到这与勾股定理相似。我们通常用勾股定理来求边，这就是这个问题要求我们做的。考虑下面的图片。我们可以用图片中的信息来解出第三边。这是题目中给出的相同信息。

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第68题:相似度，直角三角形和三角学

判断题:已知三角形一条边的长度和一个角的长度。这就足够用正弦定理求出其他边和角了。

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

假

解释：

考虑以下关系: $\frac{A}{sin(\gamma)} = \frac{B}{sin(\alpha)}$ ．假设我们知道边 A = 9 而且 $\alpha = 60$ ．把这个放到我们的关系中 $\frac{9}{sin(\gamma)} = \frac{B}{sin(60)}$ ．我们还有两个未知数没有其他信息可以解。这些信息不足以用正弦定理解出未知的边和角。

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第69题:相似度，直角三角形和三角学

在三角形中，a的对边是 $62 ^{\circ}$ 长度为10求a的对边 $66 ^{\circ}$ 角。把答案四舍五入到最接近的百分之一。

可能的答案:

1.14

11.36

0.09

0.88

8.81

正确答案:

11.36

解释：

为了解决这个问题，我们需要回想一下正弦定理。

$\frac{1}{A} \sin{\left (a \right )} = \frac{1}{B} \sin{\left (b \right )}$

在哪里,的角度,,，是相对的边长。

现在我们把62代入, 10和66年．
现在我们的方程变成

$\left(\frac{\sin( 62 )}{ 10 }\right)= \left(\frac{\sin( 66 )}{ b }\right)$

现在我们重新整理方程来求解

$\\b = \left(\frac{ 10 \sin( 66 )}{\sin( 62 )}\right) \\\\b = -11.3557732263804$

现在我们把答案四舍五入到十分之一。

b = -11.36

记住，如果你的答案是负的，乘以-1，因为边长不能是负的。

b = 11.36

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问题70:相似度，直角三角形和三角学

在三角形中，a的对边是 $41 ^{\circ}$ 长度为6，求出a的对边 $39 ^{\circ}$ 角。把答案四舍五入到最接近的百分之一。

可能的答案:

0.15

1.08

5.58

6.45

0.93

正确答案:

6.45

解释：

为了解决这个问题，我们需要回想一下正弦定理。

$\frac{1}{A} \sin{\left (a \right )} = \frac{1}{B} \sin{\left (b \right )}$

在哪里,的角度,,，是相对的边长。

现在我们把41代入, 6和39．
现在我们的方程变成

$\left(\frac{\sin( 41 )}{ 6 }\right)= \left(\frac{\sin( 39 )}{ b }\right)$

现在我们重新整理方程来求解

$\\b = \left(\frac{ 6 \sin( 39 )}{\sin( 41 )}\right) \\\\b = 6.45402256283484$

现在我们把答案四舍五入到十分之一。

b = 6.45

记住，如果你的答案是负的，乘以-1，因为边长不能是负的。

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问题1:应用sin和cos定律:Ccss.Math.Content.Hsg Srt.D.11

在三角形中，a的对边是 $60 ^{\circ}$ 长度为3的对边是a吗 $51 ^{\circ}$ 角。把答案四舍五入到最接近的百分之一。

可能的答案:

1.90

1.58

5.71

0.63

0.53

正确答案:

1.58

解释：

为了解决这个问题，我们需要回想一下正弦定理。

$\frac{1}{A} \sin{\left (a \right )} = \frac{1}{B} \sin{\left (b \right )}$

在哪里,的角度,,，是相对的边长。

现在我们把60代入, 3和51．
现在我们的方程变成

$\left(\frac{\sin( 60 )}{ 3 }\right)= \left(\frac{\sin( 51 )}{ b }\right)$

现在我们重新整理方程来解b

$\\b = \left(\frac{ 3 \sin( 51 )}{\sin( 60 )}\right) \\\\b = 1.57596947141406$

现在我们把答案四舍五入到十分之一。

b = 1.58

记住，如果你的答案是负的，乘以-1，因为边长不能是负的。

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问题2:应用sin和cos定律:Ccss.Math.Content.Hsg Srt.D.11

在三角形中，a的对边是 $45 ^{\circ}$ 长度为13求a的对边 $65 ^{\circ}$ 角。把答案四舍五入到最接近的百分之一。

可能的答案:

0.81

15.99

0.06

10.57

1.23

正确答案:

15.99

解释：

为了解决这个问题，我们需要回想一下正弦定理。

$\frac{1}{A} \sin{\left (a \right )} = \frac{1}{B} \sin{\left (b \right )}$

在哪里,的角度,,，是相对的边长。

现在我们把45代入, 13和65年．
现在我们的方程变成

$\left(\frac{\sin( 45 )}{ 13 }\right)= \left(\frac{\sin( 65 )}{ b }\right)$

现在我们重新整理方程来解b

$\\b = \left(\frac{ 13 \sin( 65 )}{\sin( 45 )}\right) \\\\b = -15.9863244465377$

现在我们把答案四舍五入到十分之一。

b = -15.99

记住，如果你的答案是负的，乘以-1，因为边长不能是负的。

b = 15.99

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问题3:应用sin和cos定律:Ccss.Math.Content.Hsg Srt.D.11

在三角形中，a的对边是 $26 ^{\circ}$ 长度为12求a的对边 $41 ^{\circ}$ 角。把答案四舍五入到最接近的百分之一。

可能的答案:

15.58

1.30

0.77

9.24

0.06

正确答案:

15.58

解释：

为了解决这个问题，我们需要回想一下正弦定理。

$\frac{1}{A} \sin{\left (a \right )} = \frac{1}{B} \sin{\left (b \right )}$

在哪里,的角度,,，是相对的边长。

现在我们把26代入, 12和41．
现在我们的方程变成

$\left(\frac{\sin( 26 )}{ 12 }\right)= \left(\frac{\sin( 41 )}{ b }\right)$

现在我们重新整理方程来解b

$\\b = \left(\frac{ 12 \sin( 41 )}{\sin( 26 )}\right) \\\\b = -15.5778376306642$

现在我们把答案四舍五入到十分之一。

b = -15.58

记住，如果你的答案是负的，乘以-1，因为边长不能是负的。

b = 15.58

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问题4:应用sin和cos定律:Ccss.Math.Content.Hsg Srt.D.11

在三角形中，a的对边是 $36 ^{\circ}$ 长度为6，求出a的对边 $58 ^{\circ}$ 角。把答案四舍五入到最接近的百分之一。

可能的答案:

9.73

1.62

0.62

0.27

3.7

正确答案:

3.7

解释：

为了解决这个问题，我们需要回想一下正弦定理。

$\frac{1}{A} \sin{\left (a \right )} = \frac{1}{B} \sin{\left (b \right )}$

在哪里,的角度,,，是相对的边长。

现在我们把36代入, 6和58．
现在我们的方程变成

$\left(\frac{\sin( 36 )}{ 6 }\right)= \left(\frac{\sin( 58 )}{ b }\right)$

现在我们重新整理方程来解b

$\\b = \left(\frac{ 6 \sin( 58 )}{\sin( 36 )}\right) \\\\b = -3.69854363983686$

现在我们把答案四舍五入到十分之一。

b = -3.7

记住，如果你的答案是负的，乘以-1，因为边长不能是负的。

b = 3.7

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