例子问题
例子问题1:可约为二次型的方程
解决
可能的答案:
没有解
正确答案:
解释:
为了简化这个问题,我们先做一个u替换。
让.
现在我们可以在左边因式分解。
我们有两个解现在我们可以代入得到所有的解。
例子问题2:可约为二次型的方程
求出多项式函数的所有实根
可能的答案:
(没有非零解)
正确答案:
解释:
求多项式的根,
集等于
提出来,
注意这个因子是一个二次方程,尽管乍一看并不是这样。一种思考方法如下:
让
然后我们有,代入得到
注意变量的变化来得到了一个可以很容易分解的二次方程,因为它是一个简单二项式的平方:
的解决方案是,
因为我们回到变量,
因此,根的因素,
的另一个根是因为函数显然等于当.
因此解集是,
下面是一幅.你可以看到函数的交点-轴上对应于解的点。
进一步讨论
变量换元法是我们用来把二次因子写成更熟悉的形式的一种工具,但是我们可以把原函数因式分解成如下所示,
设它为零得到相同的解集,
例子问题1:可约为二次型的方程
给出方程的完整解集:
可能的答案:
正确答案:
解释:
可以通过设置,因此,;得到的方程如下:
通过反foil法,我们可以在左边因式分解三叉项。我们要找两个和为8,积为12的整数;它们是2和6,所以方程变成
让两个二项式都等于0,就得到了
或.
替换为,我们得到
,
在这种情况下
,
或
在这种情况下
.
解集是.
例子问题1:可约为二次型的方程
给出方程的实解的完整集合:
可能的答案:
这个方程没有解。
正确答案:
解释:
可以通过设置,因此,;得到的方程如下:
通过反foil法,我们可以在左边因式分解三叉项。我们要找两个和为8,积为12的整数;他们是而且,所以方程变成
让两个二项式都等于0,就得到了
或.
替换为,我们得到
在这种情况下
,
而且
,
在这种情况下
因此实解的集合是.