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大学代数:除多项式

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例子问题

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例子问题1:简化多项式

下面的三位一体除以。

$18x^{2}+ 9x -3$

可能的答案:

$-3x+1+\frac{1}{2x}$

$2x^{2}+ x -\frac{1}{3}$

-x+1

$2x+1-\frac{3}{x}$

$2x+1-\frac{1}{3x}$

正确答案:

$2x+1-\frac{1}{3x}$

解释：

$18x^{2}+ 9x -3$

我们可以把这个除法写成分数的形式。

$\frac{18x^2+9x-3}{9x}$

分母会分布，这样我们就可以分别处理每个元素。

$\frac{18x^{2}+ 9x -3}{9x}=\frac{18x^{2}}{9x}+\frac{ 9x}{9x}-\frac{3}{9x}$

现在我们可以消去公因式来求答案。

$(\frac{18}{9}* \frac{x^{2}}{x})+1-(\frac{3}{9}* \frac{1}{x})$

$2x+1-\frac{1}{3x}$

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例子问题1:将多项式

简化:

$y=\frac{(x^2-16)(x+7)}{x+4}+(x-1)^2+13$

可能的答案:

y=2x^2+x-14

$y=\frac{x^3+7x^2-16x-112}{x+4}+(x-1)^2+13$

$y=\frac{(x^2-16)(x+7)}{x+4}+x^2-2x+14$

y=x^2-x-14

y=2(x^2+x-7)

正确答案:

y=2x^2+x-14

解释：

$y=\frac{(x^2-16)(x+7)}{x+4}+(x-1)^2+13$

首先，通过识别平方的差来分解商项的分子:

$y=\frac{(x-4)(x+4)(x+7)}{x+4}+(x-1)^2+13$

把公约数从分子和分母中消去:

y=(x-4)(x+7)+(x-1)^2+13

铝箔(第一，外，内，后)方程的前两项:

y=x^2+7x-4x-28+x^2-2x+1+13

将类似的词组合起来:

y=2x^2+x-14

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例子问题81:多项式

分:

$(x^{3} -23x+10) \div (x-5)$

可能的答案:

$x^{2} - 5x + 16 + \frac{87}{x-5}$

$x^{2}+1+\frac{12}{x-5}$

$x^{2} + 5x + 2$

$x^{2} - 5x + 16 - \frac{73}{x-5}$

$x^{2} + 5x + 2 + \frac{20}{x-5}$

正确答案:

$x^{2} + 5x + 2 + \frac{20}{x-5}$

解释：

首先，重写这个问题，使缺少的 $x^{2}$ 替换为 $0x^{2}$

$(x^{3} + 0x^{2} -23x+10) \div (x-5)$

将前导系数除以:

$x^{3} \div x = x^{2}$ 商的第一项

这一项乘以除数，然后从被除数中减去积:

$x^{2} (x-5) = x^{3} -5x^{2}$

$(x^{3} + 0x^{2} -23x+10) - (x^{3} -5x^{2}) = 5x^{2}-23x+10$

在每个不同的地方重复这个过程:

$5x^{2} \div x = 5x$ ，商的第二项

$5x (x-5) = 5 x^{2} -25$

$5x^{2}-23x+10 - ( 5x^{2} -25x) = 2x+10$

再说一遍:

$2x \div x = 2$ ，商的第三项

2 (x-5) = 2x-10

2x+10 - (2x-10) = 20 ，余数

商是 $x^{2} + 5x + 2$ 剩下的是；这个可以写成

$x^{2} + 5x + 2 + \frac{20}{x-5}$

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问题82:多项式

分:

$\left (x^{2} + 6x -7 \right )\div (x+3)$

可能的答案:

$x- 3 - \frac{16}{x+3}$

$x+ 3 + \frac{16}{x+3}$

$x+ 3 - \frac{16}{x+3}$

$x- 3 + \frac{2}{x+3}$

$x+ 3 + \frac{2}{x+3}$

正确答案:

$x+ 3 - \frac{16}{x+3}$

解释：

除前导系数得到商的第一项:

$x^{2} \div x = x$ 商的第一项

这一项乘以除数，然后从被除数中减去积:

$x (x+3) = x^{2} + 3x$

$\left (x^{2} + 6x -7 \right ) - (x^{2}+3x) = 3x -7$

对差值重复这些步骤，直到差值为整数。事实证明，我们只需要重复一次:

$3x\div x = 3$ ，商的第二项

3 (x+3) = 3x + 9

(3x -7) - (3x + 9) = -16 ，余数

把它们放在一起，商可以写成 $x+ 3 - \frac{16}{x+3}$ 。

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例子问题1:多项式函数

简化以下表达式:

$\frac{(x-25)}{(x^2-625)}$

可能的答案:

{x+25}

$\frac{1}{x^2+25}$

$\frac{1}{x-25}$

$\frac{1}{x+25}$

正确答案:

$\frac{1}{x+25}$

解释：

简化以下表达式:

$\frac{(x-25)}{(x^2-625)}$

首先，我们需要把底部识别为平方差。重写如下。

$\frac{(x-25)}{(x+25)(x-25)}=\frac{1}{x+25}$

所以我们的答案是:

$\frac{1}{x+25}$

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例子问题2:多项式函数

简化以下表达式:

$\frac{(3x)(3x^2+5x)}{x}$

可能的答案:

9x^2+15x

3x^2+5x

9x^3+15x^2

9x+15

正确答案:

9x^2+15x

解释：

简化以下表达式:

$\frac{(3x)(3x^2+5x)}{x}$

首先，让我们把3x乘进去:

$\frac{(3x)(3x^2+5x)}{x}=\frac{9x^3+15x^2}{x}$

接下来，把x从底部提出来:

$\frac{9x^3+15x^2}{x}=9x^2+15x$

所以我们的答案是:

9x^2+15x

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示例问题3:多项式函数

$\begin{align*}&\text{Simplify the expresssion:}\\&\frac{x^{2}+30x+225}{x+15}\end{align*}$

可能的答案:

x+5

x+15

x+23

x+3

正确答案:

x+15

解释：

$\begin{align*}&\textbf{To perform a polynomial long division, it is often}\\&\textbf{helpful to space terms into columns ordered by power.}\\&\textbf{This includes zero terms. For example: }x^2+0x+5\\&\textbf{When performing each division step, choose a coefficient}\\&\textbf{Which eliminates the highest ordered term each time.}\end{align*}\begin{align*}&&&&&&&&\end{align*}\begin{align*}&&&&\mathbf{x}&&\mathbf{+15}\\x&&+15|x^{2}&&+30x&&+225\\&&-(x^{2}&&+15x)\\&&&&15x&&+225\\&&&&-(15x&&+225)\\\end{align*}$

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示例问题4:多项式函数

$\begin{align*}&\text{Simplify the expresssion:}\\&\frac{x^{2}+x-30}{x-5}\end{align*}$

可能的答案:

x+6

x+1

x-26

x-6

正确答案:

x+6

解释：

$\begin{align*}&\textbf{To perform a polynomial long division, it is often}\\&\textbf{helpful to space terms into columns ordered by power.}\\&\textbf{This includes zero terms. For example: }x^2+0x+5\\&\textbf{When performing each division step, choose a coefficient}\\&\textbf{Which eliminates the highest ordered term each time.}\end{align*}\begin{align*}&&&&&&&&\end{align*}\begin{align*}&&&&\mathbf{x}&&\mathbf{+6}\\x&&-5|x^{2}&&+x&&-30\\&&-(x^{2}&&-5x)\\&&&&6x&&-30\\&&&&-(6x&&-30)\\\end{align*}$

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示例问题5:多项式函数

$\begin{align*}&\text{Simplify the expresssion:}\\&\frac{x^{2}+24x+143}{x+13}\end{align*}$

可能的答案:

x-27

x+25

x-5

x+11

正确答案:

x+11

解释：

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示例问题6:多项式函数

$\begin{align*}&\text{Simplify the expresssion:}\\&\frac{x^{5}+x^{4}-353x^{3}-641x^{2}+24832x+98560}{x^{2}-9x-112}\end{align*}$

可能的答案:

$x^{3}-25x^{2}-22x+27$

$x^{3}+10x^{2}-151x-880$

$x^{3}-7x^{2}-16x-6$

$x^{3}+28x^{2}+5x-27$

正确答案:

$x^{3}+10x^{2}-151x-880$

解释：

$\begin{align*}&\textbf{To perform a polynomial}\\&\textbf{long division, it is often}\\&\textbf{helpful to space terms}\\&\textbf{into columns ordered by power.}\\&\textbf{This includes zero terms.}\\&\textbf{For example: }x^2+0x+5\\&\textbf{When performing each}\\&\textbf{division step, choose a coefficient}\\&\textbf{Which eliminates the highest}\\&\textbf{ordered term each time.}\end{align*}\begin{align*}&&&&&&&&\end{align*}\begin{align*}&&&&&&&&\mathbf{x^{3}}&&\mathbf{+10x^{2}}&&\mathbf{-151x}&&\mathbf{-880}\\x^{2}&&-9x&&-112|x^{5}&&+x^{4}&&-353x^{3}&&-641x^{2}&&+24832x&&+98560\\&&&&-(x^{5}&&-9x^{4}&&-112x^{3})\\&&&&&&10x^{4}&&-241x^{3}&&-641x^{2}\\&&&&&&-(10x^{4}&&-90x^{3}&&-1120x^{2})\\&&&&&&&&-151x^{3}&&479x^{2}&&24832x\\&&&&&&&&-(-151x^{3}&&1359x^{2}&&16912x)\\&&&&&&&&&&-880x^{2}&&7920x&&98560\\&&&&&&&&&&-(-880x^{2}&&7920x&&98560)\\\end{align*}$

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