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微积分AB:使用代换和积分

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例子问题

例子问题1:使用替换和集成

用变量替换法(也就是u替换法)来计算这个积分，

$\int x\sqrt{1+x^2}dx$

可能的答案:

$\frac{1}{6}(x^2+1)^{\frac{2}{3}}+\sqrt{x}+C$

$\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C$

$\frac{3}{4}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C$

$\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$

$\frac{1}{6}(2x+1)^{\frac{2}{3}}+C$

正确答案:

$\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C$

解释：

$\int x\sqrt{1+x^2}dx$

这样的积分在微积分入门课程中很常见。寻找模式通常是有用的，比如我们例子中根号下的多项式， 1+x^2 恰好比根号外的因子高一个阶，你知道如果你对一个二阶多项式求导你会得到一个一阶多项式，那么我们来定义这个变量

u = 1+x^2 (1）

现在对求导来写它的微分，

du = 2x dx （2）

根据式(2)，我们可以解出 xdx ,获得 $xdx =\frac{1}{2}du$ ．现在如果我们看一下原始的积分我们可以用

$\int x\sqrt{1+x^2}dx = \int\sqrt{1+x^2}\underbrace{xdx} = \int\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}du \right )$

现在继续积分．

$\int\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}du \right ) = \frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du$

$= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{\frac{1}{2}+1}u^{\frac{1}{2}+1} \right ]+C$

$=\frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right )+C$

$=\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$

现在把结果写成由式(1)可得:

$\int x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C$

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例子问题2:使用替换和集成

用u替换来求

$\int \sin^2(x)\cos (x)dx$

可能的答案:

$\frac{1}{6}sin^2(x)$

$\frac{1}{6}sin^3(x)cos^2(x)$

$\frac{1}{4}sin^4(x)$

$\frac{-1}{6}cos^3(x)sin^2(x)$

$\frac{1}{3}sin^3(x)$

正确答案:

$\frac{1}{3}sin^3(x)$

解释：

让 u=sin(x)

然后 du=cos(x)dx

现在我们可以代入

$\int sin^2(x) \cos(x) dx=\int u^2du= \frac{1}{3}u^3$

现在我们把它代回来

$\frac{1}{3}u^3=\frac{1}{3} \sin^3(x)$

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示例问题3:使用替换和集成

评估 $\int_0^1 \frac{6x}{1+x^2} dx$

可能的答案:

$2\ln3$

$3\ln2$

$\ln2$

$\ln3$

正确答案:

$3\ln2$

解释：

我们可以对这个积分进行替换。

让 u = 1+x^2 ，

然后 du = 2x dx ．

最后一个方程乘以,我们得到 3du = 6x dx ．

现在我们可以做替换了

$\int_0^1 \frac{6x}{1+x^2} dx$ ．开始

$=\int_1^2 \frac{3}{u}du$ ．换出 1+x^2 与, 6x dx 与 3du ．一定要把积分限代进去 u = 1+x^2 为来得到新的边界。

$=3\int_1^2 \frac{1}{u}du$ ．提出．

$=3 \ln(u)|_1^2$ ．不需要绝对值符号，因为 $1\le u \le2$ ．)

$=3(\ln(2)-\ln(1))$ ．评估

$=3\ln2 -0 = 3\ln2$

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示例问题4:使用替换和集成

用代换法求解以下积分:

$\int{x^3(2+x^4)^5}dx$

可能的答案:

$2x+x^{20}+c$

$\frac{1}{6}(2+x^4)^6+c$

$\frac{1}{24}(2+x^4)^6+c$

$\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{24}x^{24}+c$

$2x^3+x^{23}+c$

正确答案:

$\frac{1}{24}(2+x^4)^6+c$

解释：

为了解这个积分，我们必须用一个变量来化简它u代入变量x。

对于这个问题，我们将用u替换表达式 2+x^4 ．

接下来，我们必须对u求导，它的导数是 du=4x^3dx ．

接下来，解出dx的方程这样我们就可以把它代入积分中。

插头在的地方 (2+x^4) 而且 $\frac{du}{4x^3}$ 在的地方将原积分化简。

的 x^3 分母约去了剩下的 x^3 在积分中，留下a $\frac{1}{4}$ ．我们可以拉 $\frac{1}{4}$ 在积分的前面。接下来，求被积函数的不定积分，将u替换为原来的表达式，加上常数答案。

具体步骤如下:

1. $\int{x^3(2+x^4)^5dx}$

2. u=2+x^4

3. du=4x^3dx

4. $dx=\frac{du}{4x^3}$

5. $\int{x^3u^5(\frac{du}{4x^3})}$

6. $\frac{1}{4}\int{u^5}du$

7. $\frac{1}{4}(\frac{1}{6}u^6)$

8. $\frac{1}{4}(\frac{1}{6}(2+x^4)^6$

9. $\frac{1}{24}(2+x^4)^6+c$

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示例问题5:使用替换和集成

用代换法求解以下积分:

$\int{x^2\sqrt{x^3+1}}dx$

可能的答案:

$\frac{1}{3}(x^3+1)^{\frac{5}{2}}+c$

$x^{\frac{7}{2}}+x^2+c$

$\frac{2}{3}(x^3+1)^9+c$

$\frac{2}{9}(x^3+1)^{\frac{3}{2}}+c$

$\sqrt[3]{(x^3+1)}(\frac{1}{x^2})+c$

正确答案:

$\frac{2}{9}(x^3+1)^{\frac{3}{2}}+c$

解释：

为了解这个积分，我们必须用一个变量来化简它代入:代入一个变量．对于这个问题，我们将用u替换表达式 x^3+1 ．接下来，我们必须对u求导，它的导数是 3x^2dx ．接下来，解这个方程这样我们就可以把它代入积分。插头在的地方 x^3+1 而且 $\frac{du}{3x^2}$ 在的地方将原积分化简。的 x^2 分母约去了剩下的 x^2 在积分中，留下a $\frac{1}{3}$ ．我们可以拉 $\frac{1}{3}$ 在积分的前面。接下来，求被积函数的不定积分并替换用原来的表达式，加上常数答案。具体步骤如下:

1. $\int{x^2\sqrt{x^3+1}}dx$

2.＝ x^3+1

3. du=3x^2dx

4. $\int{x^2\sqrt{u}\frac{du}{3x^2}}$

5. $\frac{1}{3}\int{\sqrt{u}du}$

6. $\frac{1}{3}(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}})+c$

7. $\frac{2}{9}u^{\frac{3}{2}}+c$

8. $\frac{2}{9}(x^3+1)^{\frac{3}{2}}+c$

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示例问题6:使用替换和集成

用代换法求解以下积分:

$\int{cos^3xsinxdx}$

可能的答案:

$\frac{-cos^4x}{4}+c$

cotxcos^2x+c

$\frac{sin^4x}{4}+c$

$\frac{1}{3}(cosx)^3+c$

$\frac{-1}{3}(cosx)^3+c$

正确答案:

$\frac{-cos^4x}{4}+c$

解释：

为了解这个积分，我们必须用一个变量来化简它代入:代入一个变量．对于这个问题，我们将用u替换表达式 cosx ．接下来，我们必须求导．它的导数是 -sinxdx ．接下来，解这个方程这样我们就可以把它代入积分。插头在的地方 cosx 而且 $\frac{du}{-sinx}$ 在的地方将原积分化简。的 sinx 分母约去了剩下的 sinx 在积分中，留下a．接下来，求被积函数的不定积分并替换用原来的表达式，加上常数答案。具体步骤如下:

1. $\int{cos^3xsinxdx}$

2. u=cosx

3. du=-sinxdx

4. $\int{u^3sinx(\frac{du}{-sinx})}$

5. $\int-u^3du$

6. $\frac{-1}{4}u^4+c$

7. $\frac{-cos^4x}{4}+c$

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示例问题7:使用替换和集成

用代换法求解以下积分:

$\int{xsin(x^2)dx}$

可能的答案:

$\frac{-1}{2}sin(x^2)+c$

$\frac{1}{2}sin(x^2)+c$

$\frac{-1}{2}cos(x^2)+c$

2cos(x^2)+c

$\frac{1}{2}cos(x^2)+c$

正确答案:

$\frac{-1}{2}cos(x^2)+c$

解释：

为了解这个积分，我们必须用一个变量来化简它代入:代入一个变量．对于这个问题，我们将用u替换表达式 x^2 ．接下来，我们必须求导．它的导数是．接下来，解这个方程这样我们就可以把它代入积分。插头在的地方 x^2 而且 $\frac{du}{2x}$ 在的地方将原积分化简。的分母约去了剩下的在积分中，留下a $\frac{1}{2}$ ．我们可以拉 $\frac{1}{2}$ 在积分的前面。接下来，求被积函数的不定积分并替换用原来的表达式，加上常数答案。具体步骤如下:

1. $\int{xsin(x^2)dx}$

2. u=x^2

3. du=2xdx

4. $\int{x(sinu)\frac{du}{2x}}$

5. $\frac{1}{2}\int{sinudu}$

6. $\frac{-1}{2}cosu+c$

7. $\frac{-1}{2}cos(x^2)+c$

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示例问题8:使用替换和集成

用代换法求解以下积分:

$\int{x^2e^{x^3}dx}$

可能的答案:

$\frac{3}{2}e^{x^2}+c$

$\frac{1}{3}e^{x^3}+c$

$\frac{3}{2}e^{x^3}+c$

$\frac{1}{2}e^{x2}+c$

$2xe^{x^3}+c$

正确答案:

$\frac{1}{3}e^{x^3}+c$

解释：

为了解这个积分，我们必须用一个变量来化简它代入:代入一个变量．对于这个问题，我们将用u替换表达式 x^3 ．接下来，我们必须求导．它的导数是 3x^2 ．接下来，解这个方程这样我们就可以把它代入积分。插头在的地方 x^3 而且 $\frac{du}{3x^2}$ 在的地方将原积分化简。的 x^2 分母约去了剩下的 x^2 在积分中，留下a $\frac{1}{3}$ ．我们可以拉 $\frac{1}{3}$ 在积分的前面。接下来，求被积函数的不定积分并替换用原来的表达式，加上常数答案。具体步骤如下:

1. $\int{x^2e^{x^3}dx}$

2. u=x^3

3. du=3x^2

4. $\int{x^2e^u(\frac{du}{3x^2})}$

5. $\frac{1}{3}\int{e^udu}$

6. $\frac{1}{3}e^u+c$

7. $\frac{1}{3}e^{x^3}+c$

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示例问题9:使用替换和集成

用代换法求解以下积分:

$\int{e^xcos(e^x)dx}$

可能的答案:

$e^{cosx}+c$

-cos(e^x)+c

sin(e^x)+c

-sin(e^x)+c

$e^{sinx}+c$

正确答案:

sin(e^x)+c

解释：

为了解这个积分，我们必须用一个变量来化简它代入:代入一个变量．对于这个问题，我们将用u替换表达式 e^x ．接下来，我们必须求导．它的导数是 e^x ．接下来，解这个方程这样我们就可以把它代入积分。插头在的地方 e^x 而且 $\frac{du}{e^x}$ 在的地方将原积分化简。的 e^x 分母约去了剩下的 e^x 在积分。接下来，求被积函数的不定积分并替换用原来的表达式，加上常数答案。具体步骤如下:

1. $\int{e^xcos(e^x)dx}$

2. u=e^x

3. du=e^xdx

4. $\int{e^xcosu(\frac{du}{e^x})}$

5. $\int{cosudu}$

6. sinu+c

7. sin(e^x)+c

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示例问题10:使用替换和集成

用代换法求解以下积分:

$\int{\frac{sin(lnx)}{x}dx}$

可能的答案:

-cos(lnx)+c

$\frac{1}{\sqrt{1-lnx}}+c$

cos(lnx)+c

$-sinx(\frac{1}{x})+c$

$sinx(\frac{1}{x})+c$

正确答案:

-cos(lnx)+c

解释：

为了解这个积分，我们必须用一个变量来化简它代入:代入一个变量．对于这个问题，我们将用u替换表达式 lnx ．接下来，我们必须求导．它的导数是 $\frac{1}{x}$ ．接下来，解这个方程这样我们就可以把它代入积分。插头在的地方 lnx 而且 dux 在的地方将原积分化简。的分母约去了剩下的在积分。接下来，求被积函数的不定积分并替换用原来的表达式，加上常数答案。具体步骤如下:

1. $\int{\frac{sin(lnx)}{x}dx}$

2. u=lnx

3. $du=(\frac{1}{x}dx)$

4. dux=dx

5. $\int{\frac{sinu}{x}dux}$

6. $\int{sinudu}$

7. -cosu+c

8. -cos(lnx)+c

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