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微积分AB:使用三角函数的导数

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例子问题

问题51:基本判别规则

下面哪个是它的导数 f(x) = tan(x) ？

可能的答案:

sec^2(x)

cos^2(x)

cot^2(x)

csc^2(x)

正确答案:

sec^2(x)

解释：

回想一下这个函数 $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ 。知道了这个，我们就可以用除法求导了。

f(x) = tan(x)

$f(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$

$f'(x) = \frac{cos(x)cos(x) - -sin(x)sin(x)}{cos^2(x)}$

$f'(x) = \frac{cos^2(x) + sin^2(x)}{cos^2(x)}$

$f'(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$ (毕达哥拉斯身份)

f'(x) = sec^2(x) $(\frac{1}{cos(x)} = sec(x))$

报告错误

问题1:使用三角函数的导数

下面哪个是它的导数 f(x) = sec(x) ？

可能的答案:

tan^2(x)

tan(x)sec(x)

csc^2(x)

cos(x)sin(x)

正确答案:

tan(x)sec(x)

解释：

回想一下, $sec(x) = \frac{1}{cos(x)}$

f(x) = sec(x)

$f(x) = \frac{1}{cos(x)}$

$f(x) = cos(x)^{-1}$

$f'(x) = -cos(x)^{-2} * \frac{d}{dx}cos(x)$

$f'(x) = -\frac{1}{cos(x)^2} * -sin(x)$

$f'(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}*\frac{1}{cos(x)}$

f'(x) = tan(x)sec(x) $(tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}, sec(x) = \frac{1}{cos(x)})$

报告错误

问题2:使用三角函数的导数

下面哪个是它的导数 f(x) = csc(x) ？

可能的答案:

sec^2(x)

cot^2(x)

-cot(x)csc(x)

tancsc(x)

正确答案:

-cot(x)csc(x)

解释：

回想一下, $csc(x) = \frac{1}{sin(x)}$

f(x) = csc(x)

$f(x) = \frac{1}{sin(x)}$

$f(x) = sin(x)^{-1}$

$f'(x) = -sin(x)^{-2}*\frac{d}{dx}sin(x)$

$f'(x) = -\frac{1}{sin(x)^2}*cos(x)$

$f'(x) = -\frac{cos(x)}{sin(x)}*\frac{1}{sin(x)}$

f'(x) = -cot(x)csc(x) $(\csc(x) = \frac{1}{sin(x)}, cot(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)})$

报告错误

问题3:使用三角函数的导数

它的导数是什么 f(x) = cot(x) ？

可能的答案:

csc^2(x)

sec^2(x)

tan^2(x)

cot^2(x)

正确答案:

csc^2(x)

解释：

回想一下, $cot(x) = \frac{1}{tan(x)} = \frac{cos(x)}{sin(x)}$ 。现在我们可以用除法求导了。

f(x) = cot(x)

$f(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$

$f'(x) = \frac{-sin(x)sin(x) - cos(x)cos(x)}{sin^2(x)}$

$f'(x) = \frac{-sin^2(x) - cos^2(x)}{sin^2(x)}$

$f'(x) = \frac{-(sin^2(x) - cos^2(x))}{sin^2(x)}$

$f'(x) = \frac{-1}{sin^2(x)}$ (毕达哥拉斯身份)

f'(x) = csc^2(x) $(csc = \frac{1}{sin(x)})$

报告错误

问题4:使用三角函数的导数

判断题:我们用链式法则求三角函数的导数。

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

真正的

解释：

这是真的。链式法则使我们能够对复合函数求导。复合函数是相互内部的函数。取 tan(2x) 为例。 tan(x) 它本身是一个函数，但它也是一个函数 2(x) 。我们可以让 f(x) = tan(x) 和 g(x) = 2x 。所以复合函数是， f(g(x)) = tan(2x) 。

现在根据链式法则我们将内部函数的导数乘以外部函数的系数同时对外部函数求导。 F'(x) 会是复合函数吗 f(g(x)) 。链式法则的公式是:

F'(x) = g'(x)f'(g(x)) 。

回到我们的例子 tan(2x) 的导数 tan(x) 是 sec^2(x) 的导数是。复合函数的导数是 2sec^2(2x) 。因此，每次我们微分三角函数时，不管我们是否意识到，我们都在使用链式法则。

报告错误

问题5:使用三角函数的导数

的导数是什么 f(x) = tan(x^2 + 3x) ？

可能的答案:

f'(x) = (2x + 3)sec^2(x^2 + 3x)

f'(x) = sec^2(x^2 + 3x)

f'(x) = cot^2(2x + 3)

f'(x) = sec^2(2x + 3)

正确答案:

f'(x) = (2x + 3)sec^2(x^2 + 3x)

解释：

我们必须对正切函数的量和正切本身求导才能解出这个导数。回想一下导数 tan(x) = sec^2(x)

f(x) = tan(x^2 + 3x)

$f'(x) = \frac{d}{dx}[x^2+3x]*\frac{d}{dx}[tan(x^2 + 3x)]$

f'(x) = (2x + 3)sec^2(x^2 + 3x)

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问题6:使用三角函数的导数

的导数是什么 f(x) = 2x + csc(4x) 在 $x = \pi$ ？

可能的答案:

$\pi$

7.25

这个导数在这一点没有定义

正确答案:

这个导数在这一点没有定义

解释：

我们必须从求导开始。还记得余割函数的导数是 csc(x) = -cot(x)csc(x)

f(x) = 2x + csc(4x)

$f'(x) = 2 + 4*\frac{d}{dx}[csc(4x)]$

f'(x) = 2 - 4cot(4x)csc(4x)

现在我们必须求导数 $x = \pi$ 。所以我们将插入 $\pi$ 在。

$f'(\pi) = 2 - 4cot(4\pi)csc(4\pi)$

$f'(\pi) = 2 - 4(0)(undefined)$

$f'(\pi) = undefined$

所以在导数图像的这一点上，函数是无定义的。

报告错误

问题1:使用三角函数的导数

True或False:当的导数 tan(x) 是负递增的，那么函数呢 tan(x) 正在增加。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

假

解释：

即使我们是在处理三角函数，导数的规则是一样的。由于导数函数的图像是原函数变化率的图像，那么当导数函数的图像为负时，原函数是递减的。即使导数是增加的，如果它是负的原始函数仍然是减少的，只是减少了一个因子。当导数函数为零时，原始函数为常数。当导数函数为正时，则原函数是递增的。

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问题8:使用三角函数的导数

求导数 f(x) = cot(5x^2) 。

可能的答案:

f'(x) = 10xcsc^2(5x^2)

f'(x) = csc^2(5x^2)

f'(x) = 5x^2csc^2(5x^2)

f'(x) = 5csc^2(5x^2)

正确答案:

f'(x) = 10xcsc^2(5x^2)

解释：

我们需要用链式法则来求三角函数的导数和三角函数内的量。

f(x) = cot(5x^2)

$f'(x) = csc^2(5x^2) * \frac{d}{dx}[5x^2]$

f'(x) = 10xcsc^2(5x^2)

报告错误

问题9:使用三角函数的导数

的导数是什么 f(x) = tan^2(x) ？

可能的答案:

f'(x) = 2sec^2(x)tan(x)

f'(x) = 2tan(x)

f'(x) = 2sec^2(x)

f'(x) = sec^2(x)tan(x)

正确答案:

f'(x) = 2sec^2(x)tan(x)

解释：

回想一下，正切函数的导数是 sec(x) 。我们需要对指数求导 tan^2(x) 我们还需要实际正切函数的导数。

f(x) = tan^2(x)

$f'(x) = 2tan(x) *\frac{d}{dx}[tan(x)]$

f'(x) = 2sec^2(x)tan(x)

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