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微积分AB:寻找横截面:三角形和半圆

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例子问题

问题1:找到横截面:三角形和半圆

求其截面为等边三角形且其基底为半径圆盘的立体的体积．

可能的答案:

$V=\int_{0}^{R}\sqrt{3} (R^2-x^2) dx$

$V=\int_{-R}^{R}(R^2-x^2) dx$

$V=\int_{-R}^{R}\sqrt{3} (R-x^2) dx$

$V=\int_{-R}^{R}\sqrt{3} (R^2-x^2) dx$

正确答案:

$V=\int_{-R}^{R}\sqrt{3} (R^2-x^2) dx$

解释：

因为磁盘的半径是R，基底由以下公式定义: x^2+y^2=R^2 ．

等边三角形面积的正确公式如下:

$A=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ ,三角形的:三角形的边长

把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 dx$ ．

半径R定义了边界 [-R,R] ．接下来，s可以通过理解这个值是圆周上任何给定点到圆底部的距离来找到 [-R,R] ．因此，等边三角形的一条边的长度为 $s=2\sqrt{R^2-x^2}$ ．

综上所述，可以得到以下信息:

$V=\int_{-R}^{R}\frac{3}{4}(2\sqrt{R^2-x^2})^2 dx=\int_{-R}^{R}\sqrt{3 }(R^2-x^2) dx$

*注意:问题没有指定横截面是否垂直于或轴。因为底是一个圆，这不会改变最终的体积。唯一的区别应该是使用或作为变量在正确的表达式。

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问题2:找到横截面:三角形和半圆

求底部以圆为界的固体的体积 x^2+y^2=4 它们的横截面是直角等腰三角形垂直于轴，一条腿在坚实的基础上。

可能的答案:

$\frac{64}{3}$

$\frac{56}{3}$

$\frac{64}{5}$

正确答案:

$\frac{64}{3}$

解释：

因为底是一个圆的半径，积分限定义为 [-2,2] ．

等腰直角三角形的面积可以用这个公式求出来 $A=\frac{1}{2}b^2$ ,在那里是三角形的腿长。把它应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}\frac{1}{2}b^2 dx$ ．

的表达式可以通过了解发现腿的事实吗三角形的一部分在实心物体的底部。这个值是半圆高度的两倍 $y=\sqrt{4-x^2}$ ． $b=2\sqrt{4-x^2}$

综上所述，可以得到以下信息:

$V=\int_{-2}^{2}\frac{1}{2}(2\sqrt{4-x^2})^2 dx =\int_{-2}^{2}8-2x2 dx$ $=[8x-\frac{2}{3}x^3]|_{-2}^2=16-\frac{16}{3}+16-\frac{16}{3}=\frac{64}{3}$

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问题3:找到横截面:三角形和半圆

确定截面为垂直于的等边三角形的实体的体积的正确表达式轴线，其基底以 y=x^2 而且 y=x ．

可能的答案:

$V=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{y}-y) \: dy$

$V=\int_{0}^{1}\sqrt{x}-x \: dx$

$V=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{y}-y)^2 dy$

$V=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{x}-x)^2 dx$

正确答案:

$V=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{y}-y)^2 dy$

解释：

首先，横截面垂直于Axis表示表达式应该是．

等边三角形的面积是 $A=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ ,三角形的:三角形的边长将这个公式应用到一般的体积公式( $V=\int_{a}^{b}A(y) dy$ )，我们得到以下信息: $V=\int_{a}^{b}\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 dy$ ．

函数的交点 y=x^2 而且 y=x 是 (0,0) 而且 (1,1) ．的这些点的坐标将定义积分的边界，因为我们的表达式是．

基座以 y=x^2 而且 y=x ．把这些函数写成，得到如下方程: $x=\sqrt{y}$ 而且 x=y ．自 $x=\sqrt{y}$ 离这更远轴，边长的正确表达式是 $s=\sqrt{y}-y$ ．

综上所述，可以得到以下信息:

$V=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{y}-y)^2 \: dy$

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问题4:找到横截面:三角形和半圆

确定基底为边界的固体体积的正确表达式 y=x^3 ， y=8 , x=0 ，其截面为直角等腰三角形，垂直于轴，一条腿在坚实的基础上。

可能的答案:

$V=\int_{0}^{2}8-x^3 dx$

$V=\int_{0}^{2}\frac{1}{2}(x^6) dx$

$V=\int_{0}^{8}\frac{1}{2}(8-x^3) dx$

$V=\int_{0}^{2}\frac{1}{2}(8-x^3)^2 dx$

正确答案:

$V=\int_{0}^{2}\frac{1}{2}(8-x^3)^2 dx$

解释：

首先，横截面垂直于Axis表示表达式应该是．等腰直角三角形的面积可以用这个公式求出来 $A=\frac{1}{2}b^2$ ,在那里是三角形的腿长。把它应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}\frac{1}{2}b^2 dx$ ．

定义区域的函数的交点为 (2,8) 而且 (0,0) ．的这些点的坐标将定义积分的边界，因为我们的表达式是．

基座以 y=x^3 ， x=0 而且 y=8 ．因为横截面垂直于轴，三角形截面的腿被定义为: b=8-x^3 ．

综上所述，可以得到以下信息:

$V=\int_{0}^{2}\frac{1}{2}(8-x^3)^2\: dx$

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问题5:找到横截面:三角形和半圆

求其截面为等边三角形且其基底为半径圆盘的立体的体积．

可能的答案:

$36\sqrt{3}$

$6\sqrt{2}$

$6\sqrt{3}$

正确答案:

$36\sqrt{3}$

解释：

因为圆盘是有半径的，基数由下式定义: x^2+y^2=9 ．

等边三角形面积的正确公式如下:

$A=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ ， s是三角形的边长。

把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 \: dx$ ．

半径定义边界为 [-3,3] ．接下来,可以通过理解从圆的顶部到底部的任何给定点的距离来找到 [-3,3] ．因此，等边三角形的一条边的长度为 $s=2\sqrt{9-x^2}$ ．

综上所述，可以得到以下信息:

$V=\int_{-3}^{3}\frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{9-x^2})^2 dx=\int_{-3}^{3}\sqrt{3 }(9-x^2) dx$ $=[\sqrt{3}(9x-\frac{1}{3}x^3)] |_{-3}^3= \sqrt{3}(27-9+27-9)=36\sqrt{3}$

*注意:问题没有指定横截面是否垂直于或轴。因为底是一个圆，这不会改变最终的体积。唯一的区别应该是使用或作为变量在正确的表达式。

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问题6:找到横截面:三角形和半圆

求其截面为垂直于的半圆的立体的体积的表达式轴线，其基底以 y=x^2-1 而且 y=x+1 ．

可能的答案:

$V=\int_{-1}^{2}(2+x-x^2)^2 \: dx$

$V= \pi\int_{-1}^{2} x^2 - 1 \: dx$

$V=\frac{1}{8}\pi\int_{-1}^{2}(2+x-x^2)^2 dx$

$V=\frac{1}{8} \int_{0}^{3}2+x-x^2\: dx$

正确答案:

$V=\frac{1}{8}\pi\int_{-1}^{2}(2+x-x^2)^2 dx$

解释：

因为横截面垂直于轴，体积表达式将以．

半圆的面积是 $A=\frac{1}{2} \pi r^2$ ．把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V= \int_{a}^{b}A(x) \: dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}\frac{1}{2} \pi r^2\: dx$ ．

因为以…为界的区域 y=x^2-1 而且 y=x+1 是实体的基础，这些函数的交点将创建体积表达式的边界。这些点 (-1,0) 而且 (2,3) ．因为表达式是关于,坐标可以作为边界的参考。

接下来，一个表达式必须确定。因为半径半圆的直径是半圆的直径，半圆的直径是两个函数之间的拉伸长度 y=x^2-1 而且 y=x+1 ，半径表达式为: $r=\frac{1}{2}[(x+1)-(x^2-1)]$ ．简化,这读 $r=\frac{1}{2}(2+x-x^2)$ ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{-1}^{2}\frac{1}{2} \pi (\frac{1}{2}(2+x-x^2))^2 \: dx =\frac{1}{8}\pi \int_{-1}^{2}(2+x-x^2)^2\: dx$

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问题7:找到横截面:三角形和半圆

求其截面为半圆且其基底以圆为界的固体的体积 x^2+y^2=9 ．

可能的答案:

$36 \pi$

$18 \pi$

正确答案:

$18 \pi$

解释：

基数由以下公式定义: x^2+y^2=9 ．因此，基底的半径为．半径定义边界为 [-3,3]

正确的半圆面积公式如下:

$A=\frac{1}{2} \pi r^2$ ， r是半圆的半径。

把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x)\: dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}\frac{1}{2} \pi r^2 \: dx$ ．

接下来，一个表达式必须确定。半径是半圆截面直径的一半。的价值等于底的一半高，还是 $y=\sqrt{9-x^2}$ ．因此, $r=\sqrt{9-x^2}$ ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{-3}^{3}\frac{1}{2} \pi (\sqrt{9-x^2})^2\: dx$ $=\frac{1}{2} \pi \int_{-3}^{3}9-x^2\: dx =\frac{1}{2} \pi [9x-\frac{1}{3}x^3] |_{-3}^3=\frac{1}{2} \pi (27-9+27-9) =18 \pi$

*注意:问题没有指定横截面是否垂直于或轴。因为底是一个圆，这不会改变最终的体积。唯一的区别应该是使用或作为变量在正确的表达式。

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问题8:找到横截面:三角形和半圆

确定截面为垂直于的半圆的固体的体积的正确表达式轴线，其基底以 y=x^2 而且 y=4 ．

可能的答案:

$V= \pi \int_{-2}^{2}16 + x^4 - 8x^6\: dx$

$V=\frac{1}{8} \int_{-2}^{2} 8x^2+x^4\: dx$

$V=\frac{1}{8} \pi \int_{-2}^{2}16-8x^2+x^4\: dx$

$V= \pi \int_{-2}^{4}16-8x^2+x^4\: dx$

正确答案:

$V=\frac{1}{8} \pi \int_{-2}^{2}16-8x^2+x^4\: dx$

解释：

因为横截面垂直于轴，体积表达式将以．

半圆的面积是 $A=\frac{1}{2} \pi r^2$ ．把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) \: dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}\frac{1}{2} \pi r^2 \: dx$ ．

因为以…为界的区域 y=x^2 而且 y=4 是实体的基础，这些函数的交点将创建体积表达式的边界。这些点 (-2,4) 而且 (2,4) ．因为表达式是关于,坐标可以作为边界的参考。

接下来，一个表达式必须确定。因为半径半圆的直径是半圆的直径，半圆的直径是两个函数之间的拉伸长度 y=x^2 而且 y=4 ，半径表达式为: $r=\frac{1}{2}(4-x^2)$ ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{-2}^{2}\frac{1}{2} \pi (\frac{1}{2}(4-x))^2 \: dx =\frac{1}{8} \pi \int_{-2}^{2}(4-x^2)^2 \: dx =\frac{1}{8} \pi \int_{-2}^{2}16-8x^2+x^4\: dx$

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问题9:找到横截面:三角形和半圆

确定截面为垂直于的半圆的固体的体积的正确表达式轴线，其基底以 y=x^2+3 而且 y=5-x ．

可能的答案:

$V=\pi \int_{-2}^{1}(2-x^2)^2 \: dx$

$V= \int_{-1}^{1}(2-x^2)^2 \: dx$

$V=\frac{1}{8} \pi \int_{-1}^{1}(2-x-x^2)^2 \: dx$

$V=\frac{1}{8} \pi \int_{-2}^{1}(2-x-x^2)^2 \: dx$

正确答案:

$V=\frac{1}{8} \pi \int_{-2}^{1}(2-x-x^2)^2 \: dx$

解释：

因为横截面垂直于轴，体积表达式将以．

半圆的面积是 $A=\frac{1}{2} \pi r^2$ ．把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) \: dx)$ ，我们得到如下: $V= \int_{a}^{b} \frac{1}{2} \pi r^2 \: dx$ ．

因为以…为界的区域 y=x^2+3 而且 y=5-x 是实体的基础，这些函数的交点将创建体积表达式的边界。这些点 (-2,7) 而且 (1,4) ．因为表达式是关于,坐标可以作为边界的参考。

接下来，一个表达式必须确定。因为半径半圆的直径是半圆的直径，半圆的直径是两个函数之间的拉伸长度 y=x^2+3 而且 y=5-x ，半径表达式为: $r=\frac{1}{2}[(5-x)-(x^2+3)]$ ．这可以简化为: $r=\frac{1}{2}(2-x-x^2)$

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{-2}^{1}\frac{1}{2} \pi (\frac{1}{2}(2-x-x^2))^2 \: dx =\frac{1}{8} \pi \int_{-2}^{1}(2-x-x^2)^2\: dx$

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问题10:找到横截面:三角形和半圆

确定其截面为平行于y轴的半圆，其基底为边界的实体的体积的正确表达式 y=ln(x) ， x=2 而且 x=6 ．

可能的答案:

$V=\frac{1}{8} \pi \int_{2}^{6} e^{2y} \: dy$

$V=\frac{1}{8} \pi \int_{2}^{6}ln(x)^2 \: dx$

$V= \pi \int_{2}^{6} 2 ln(x) \: dx$

$V=\pi \int_{2}^{6} ln(x) \: dx$

正确答案:

$V=\frac{1}{8} \pi \int_{2}^{6}ln(x)^2 \: dx$

解释：

横截面平行于轴;这是横截面垂直于的另一种说法轴。因此，体积表达式为．

半圆的面积是 $A=\frac{1}{2} \pi r^2$ ．把这个公式应用到一般的体积公式中 $(V=\int_{a}^{b}A(x) \: dx)$ ，我们得到如下: $V=\int_{a}^{b}\frac{1}{2} \pi r^2 \: dx$ ．

因为这个区域是由 y=ln(x) ， x=2 , x=6 底的面积是轴和 y=ln(x) 的时间间隔 $2\leq x \geq 6$ ．因为表达式是关于的时间间隔 $2\leq x \geq 6$ 将定义边界。

接下来，一个表达式必须确定。因为半径半圆的直径是半圆的直径的一半，半圆的直径是两个半圆之间的长度 y=ln(x) 和轴，其半径表达式如下: $r=\frac{1}{2}ln(x)$ ．

综上所述，我们发现如下:

$V=\int_{2}^{6}\frac{1}{2} \pi (\frac{1}{2}(ln(x))^2 dx =\frac{1}{8} \pi \int_{2}^{6}ln(x)^2 \: dx$

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