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微积分AB:用积分完成正方形

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例子问题

例子问题1:完成整合广场

什么是完整的平方?

可能的答案:

对二次方程进行二次方程处理的方法

我们画出正方形的其余边

广场的功能

把二次方程处理成可以分解的东西的方法

正确答案:

把二次方程处理成可以分解的东西的方法

解释：

假设我们有这个方程 x^2 + bx = c ．这很难解以这种方式。相反，我们可以使用一个叫做补全平方的方法。在这里我们将添加 $\frac{b}{2}^2$ 两边都可以因式分解。

x^2 + bx = c

$x^2 +bx +\frac{b}{2}^2 = c + \frac{b}{2}^2$

$(x+\frac{b}{2})^2 = c + \frac{b}{2}^2$

$x + \frac{b}{2} = \pm \sqrt{c+\frac{b}{2}^2}$

$x = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{c+\frac{b}{2}^2}$

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例子问题1:完成整合广场

为什么在积分时需要使用补全平方呢?

可能的答案:

当我们需要将一个方程转化为一个可识别的恒等式时通常是平方差。

求函数的根

只有当我们被要求解决问题的时候

用二次公式

正确答案:

当我们需要将一个方程转化为一个可识别的恒等式时通常是平方差。

解释：

虽然其中一些答案可以通过使用完全平方得到，但它们并不是使用完全平方进行积分的目的。当我们积分时，通常很难看出什么时候需要用到三角恒等式或对数恒等式。利用完全平方，我们可以对积分进行处理，以得到这些恒等式。

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示例问题3:完成整合广场

使用补全方框，并显示应用后的下列方程 x^2 -2x +5 = 0 ．

可能的答案:

(x-1)^2 +5 = 0

(x-2)^2 +4 = 0

x + 5 = 0

(x-1)^2 +4 = 0

正确答案:

(x-1)^2 +4 = 0

解释：

要完成这个方格，我们可以使用两种方法中的一种。我们可以用这个公式 x^2 + bx = c 并添加 $\frac{b}{2}^2$ ．或者，如果我们发现了一个可行的因素，我们也可以遵循这条路线。我将演示后者因为前者只是代入一个公式。我们将考虑 x^2 -2x + 5 = 0 ．现在用我们只考虑的平方来因式分解左边 x^2 - 2x ．

x^2 - 2x 看起来类似于一个常见的可分解方程 x^2 - 2x + 1 ．我们可以用加法来处理这个方程,减去同样的步骤。

x^2 - 2x + 1 - 1 = (x-1)^2 -1

我们把这个代回原来的方程

x^2 - 2x +5 =0

(x-1)^2 - 1 +5 = 0

(x-1)^2 +4 = 0

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示例问题4:完成整合广场

演示完成这个正方形后，下面的等式是什么样子的。 0 = 1 - x^2 - 6x

可能的答案:

0 = 10 - (x+9)^2

0 = 10 - (x+3)^2

0 = 10 - (x-3)^2

0 = 1 - (x+3)^2

正确答案:

0 = 10 - (x+3)^2

解释：

为了完成广场识别 x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 ．我们的工作如下:

0 = 1 - x^2 - 6x

0 = 1 -(x^2 + 6x)

0 = 1 - (x^2 + 6x + 9 - 9)

0 = 10 - (x+3)^2

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示例问题5:完成整合广场

使用完成平方计算下面的积分。

$\int \frac{1}{x^2 + 10x +26}dx$

可能的答案:

arcsin(x+5) + C

arccos(x+5) + C

arctan(x+5) + C

arcsec(x+5) + C

正确答案:

arctan(x+5) + C

解释：

为了完成二次方程的平方，我们首先考虑积分函数的分母。

x^2 +10x + 26

x^2 + 10x + 25 - 25 + 26

(x + 5)^2 +1

现在积分是这样的 $\int \frac{1}{(x+5)^2 +1} dx$ ．我们会用u替换 u = x+5 ．现在我们有了积分:

$\int\frac{1}{u^2+1}dx$ ．

我们知道积分 $\int\frac{dx}{x^2 + 1} = arctan(x) + C$ ．所以积分过程如下:

$\int\frac{1}{u^2 + 1}dx = arctan(u) + C = arctan(x+5) + C$ ．

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示例问题6:完成整合广场

用来对下面的式子积分的平方的固有差等于多少 $\int\frac{dx}{1 - x^2 - 4x} = arcsin(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + C$ ?

可能的答案:

1 - (x+2)^2

5^2 - (x+2)^2

$\sqrt(5)^2 - (x+2)^2$

4 - (x+2)^2

正确答案:

$\sqrt(5)^2 - (x+2)^2$

解释：

如果我们想对下面的式子积分等于 $arcsin(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) +C$ 我们首先必须记住这一点 $\int\frac{dx}{a^2 - x^2} = arcsin(\frac{x}{a}) + c$ ．我们必须考虑积分的分母:

1 - x^2 - 4x

1 - (x^2 +4x)

1 -(x^2 + 4x +4 - 4)

5 -(x^2 + 4x + 4)

5 -(x + 2)^2

现在我们用u替换 u = x+2

5 - u^2

我们也知道 $\sqrt(5)^2 = 5$ 我们也可以把它代进去

$\sqrt(5)^2 - u^2$

如果把这个代回积分中我们就能很容易地解出这个积分。

$\int\frac{dx}{\sqrt(5)^2 - u^2} = arcsin(u) + C = arcsin(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + C$ ．我们需要的两个平方的差是 $\sqrt(5) - (x+2)^2$

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示例问题7:完成整合广场

用完成平方来解下面的积分

$\int\frac{dx}{x^2+6x+7}$

可能的答案:

$ln|(x+3) + \sqrt{(x+3)^2 - 2} + C$

$arctan(\frac{(x+3)^2 }{\sqrt{2}}) + C$

$ln|(x+3) + \sqrt{(x+3)^2 - \sqrt{2}} + C$

$arcsin(\frac{(x+3)^2 }{\sqrt{2}}) + C$

正确答案:

$ln|(x+3) + \sqrt{(x+3)^2 - 2} + C$

解释：

要解这个积分，我们必须先求出分母的平方。

x^2 + 6x + 7

x^2 + 6x + 9 - 9 +7

(x+3)^2 - 2

把这个代回积分中 $\int\frac{dx}{(x+3)^2 - 2}$ ．回想一下, $\int\frac{dx}{x^2 \pm a^2} = ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}|$

$\int\frac{dx}{(x+3)^2 - 2}$

$\int\frac{dx}{(x+3)^2 - \sqrt{2}^2}$

用u替换，我们让 u = x+2

$\int\frac{dx}{u^2 - \sqrt{2}^2} = ln|u + \sqrt{u^2 - \sqrt{2}^2}| + C = ln|(x+3) + \sqrt{(x+3)^2 - 2}| + C$

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示例问题8:完成整合广场

用完成平方来解下面的积分

$\int\frac{dx}{-3 -x^2 -4x}$

可能的答案:

$\frac{1}{2}ln|\frac{x-1}{3+x}| + C$

$\frac{1}{2}ln|\frac{3 + x}{x-1}| + C$

$ln|\frac{3 + x}{x-1}| + C$

$\frac{1}{2}ln|\frac{3 - x}{x+1}| + C$

正确答案:

$\frac{1}{2}ln|\frac{3 + x}{x-1}| + C$

解释：

我们从分母开始考虑。

-3 - x^2-4x

-3 - (x^2 +4x)

-3 - (x^2 +4x +4 -4)

1 - (x^2 +4x +4)

1 - (x+2)^2

把这个代回积分中，我们得到 $\int\frac{dx}{1-(x+2)^2$ ．用u替换，我们让 u = x+2 ．

$\int\frac{dx}{1 - u^2}$

回想一下, $\int\frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$

$\int\frac{dx}{1 - u^2}$ $= \frac{1}{2}ln|\frac{1+u}{1-u}| +C = \frac{1}{2}ln|\frac{3 + x}{x-1} + C$

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示例问题9:完成整合广场

判断题:我们只能使用完全平方，如果它给出了积分解的精确公式。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

假

解释：

这是不对的。我们用完全平方来把积分化成熟悉的形式但通常我们需要用u替换来完成这个问题。

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问题92:集成

对或错:我们可以通过在给定的方程中加减相同的项来完成平方。这基本上是加0，因此它不会改变方程的值。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

真正的

解释：

取 x^2 -2x +5 = 0 为例。我们能通过加减法算出这个平方．当我们这样做的时候，它不会改变方程的值这是因为而且彼此的恒等式是这个意思吗 1 + (-1) = 0 ．通过对任何数字(加减相同的数字)进行此操作，我们能够在不改变方程值的情况下成功地完成平方。

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