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微积分AB:应用乘积法则和除法法则

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例子问题

问题1:应用乘积法则和除法法则

下列哪项是乘积法则?

可能的答案:

$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2}$

$\frac{d}{dx} [f(x)g(x)]= f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$

$\frac{d}{dx} [f(x)g(x)]= f'(x)g'(x) + g(x)f(x)$

$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)}$

正确答案:

$\frac{d}{dx} [f(x)g(x)]= f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$

解释：

当两个不同的功能( f(x) 而且 g(x) )相乘，我们需要用乘法法则来求导数。对于乘积法则，你每次取一个函数的导数同时保持另一个常数，然后把它们加起来。这个公式是: $\frac{d}{dx} [f(x)g(x)]= f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$

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问题2:应用乘积法则和除法法则

如果我们想求这个函数的导数 f(x) = (x^2 - 2)(4x+3) ，我们会使用下列哪个选项?

可能的答案:

以上都不是

除法法则

链式法则

乘法法则

正确答案:

乘法法则

解释：

我们可以用乘积法则。让 g(x) = x^2 - 2 而且 h(x) = 4x + 3 ．

我们将使用这个公式 $\frac{d}{dx}[g(x)h(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$

$\frac{d}{dx}[g(x)h(x)] = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$

$\frac{d}{dx}[(x^2 -2)(4x+3)] = 2x(4x+3) + 4(x^2-2)$

$\frac{d}{dx}[(x^2 -2)(4x+3)] = 8x^2 + 6x + 4x^2 - 8$

$\frac{d}{dx}[(x^2 -2)(4x+3)] = 12x^2 + 6x - 8$

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问题3:应用乘积法则和除法法则

求以下函数的导数(不要解)， f(x) = 4xsin(x) ．

可能的答案:

$\frac{d}{dx}[4xsin(x)] = 4[xsin(x) + sin(x)]$

$\frac{d}{dx}[4xsin(x)] = 4[xcos(x) + cos(x)]$

$\frac{d}{dx}[4xsin(x)] = 4[xsin(x) + cos(x)]$

$\frac{d}{dx}[4xsin(x)] = 4[xcos(x) + sin(x)]$

正确答案:

$\frac{d}{dx}[4xsin(x)] = 4[xcos(x) + sin(x)]$

解释：

我们会让 g(x) = 4x 而且 h(x) = sin(x) ．

$\frac{d}{dx}[g(x)h(x)] = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$

$\frac{d}{dx}[4xsin(x)] = 4sin(x) + 4xcos(x)$

$\frac{d}{dx}[4xsin(x)] = 4[xcos(x) + sin(x)]$

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问题4:应用乘积法则和除法法则

求以下函数的导数(不要解)， f(x) =(5x^2 + 8x)(7x - 2) ．

可能的答案:

$\frac{d}{dx}[(5x^2+8x)(7x-2)] = 105x^2 + 112x - 36$

$\frac{d}{dx}[(5x^2+8x)(7x-2)] = 112x^2 + 105x - 36$

$\frac{d}{dx}[(5x^2+8x)(7x-2)] = 105x^2 + 112x + 36$

$\frac{d}{dx}[(5x^2+8x)(7x-2)] = 56x^2 + 34x - 16$

正确答案:

$\frac{d}{dx}[(5x^2+8x)(7x-2)] = 105x^2 + 112x - 36$

解释：

我们会让 g(x) = 5x^2 + 8x 而且 h(x) = 7x - 2 ．

$\frac{d}{dx}[g(x)h(x)] = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$

$\frac{d}{dx}[(5x^2+8x)(7x-2)] = (10x+8)(7x-2) + (5x^2+8x)(7)$

$\frac{d}{dx}[(5x^2+8x)(7x-2)] = 70x^2 - 20 + 56x - 16 + 35x^2 + 56x$

$\frac{d}{dx}[(5x^2+8x)(7x-2)] = 105x^2 + 112x - 36$

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问题5:应用乘积法则和除法法则

下面哪个选项可以用来求函数的导数 $f(x) = \frac{x^2}{x-2}$

可能的答案:

乘法法则

链式法则

除法法则

以上都不是

正确答案:

除法法则

解释：

当求两个函数的商的导数时，我们使用所谓的商法则。除法定则类似于乘积定则，只不过是取两个乘积之差，然后再进一步除。

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问题6:应用乘积法则和除法法则

下面哪个是除法法则的正确公式?

可能的答案:

$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)}$

$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{2g(x)}$

$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g'(x) - f(x)g(x)}{g(x)}$

正确答案:

$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

解释：

如果两个函数是可微的，那么它们的商也是可微的。我们用除法定则来求整个函数的导数。

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问题7:应用乘积法则和除法法则

求函数的导数 $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$

可能的答案:

$\frac{d}{dx}[\frac{e^x}{x^2}] = \frac{x^3 - 2x}{e^2x}$

$\frac{d}{dx}[\frac{e^x}{x^2}] = \frac{xe^x - 2e^x}{x}$

$\frac{d}{dx}[\frac{e^x}{x^2}] = \frac{x^3 - 2x}{e^x}$

$\frac{d}{dx}[\frac{e^x}{x^2}] = \frac{xe^x - 2e^x}{x^3}$

正确答案:

$\frac{d}{dx}[\frac{e^x}{x^2}] = \frac{xe^x - 2e^x}{x^3}$

解释：

这里需要用到除法定则。让 g(x) = e^x 而且 h(x) = x^2 ．

$\frac{d}{dx}[\frac{g(x)}{h(x)}] = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}$

$\frac{d}{dx}[\frac{e^x}{x^2}] = \frac{e^x(x^2) - e^x(2x)}{(x^2)^2}$

$\frac{d}{dx} [\frac{e^x}{x^2}] = \frac{x(xe^x - 2e^x)}{x^4}$

$\frac{d}{dx}[\frac{e^x}{x^2}] = \frac{xe^x - 2e^x}{x^3}$

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问题8:应用乘积法则和除法法则

求函数的导数 $f(x) = \frac{2x^3 - 9x}{x^4}$ ．

可能的答案:

$\frac{d}{dx}[\frac{2x^3 - 9x}{x^4}] = \frac{28x^3 + 6x^2 - 9}{x^4}$

$\frac{d}{dx}[\frac{2x^3 - 9x}{x^4}] = \frac{x^3 + x^2}{x^4}$

$\frac{d}{dx}[\frac{2x^3 - 9x}{x^4}] = \frac{7x^3 + x^2 - 3}{x^4}$

$\frac{d}{dx}[\frac{2x^3 - 9x}{x^4}] = \frac{28x^3 + 6x^2 - 9}{x^8}$

正确答案:

$\frac{d}{dx}[\frac{2x^3 - 9x}{x^4}] = \frac{28x^3 + 6x^2 - 9}{x^4}$

解释：

我们将用商法求导。让 g(x) = 2x^3 - 9x 而且 h(x) = x^4 ．

$\frac{d}{dx}[\frac{g(x)}{h(x)}] = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}$

$\frac{d}{dx}[\frac{2x^3 - 9x}{x^4}] = \frac{(6x^2 - 9)x^4 - (2x^3 - 9x)4x^3}{(x^4)^2}$

$\frac{d}{dx}[\frac{2x^3 - 9x}{x^4}] = \frac{6x^6 - 9x^4 - 8x^7 + 36x^7}{x^8}$

$\frac{d}{dx}[\frac{2x^3 - 9x}{x^4}] =\frac{28x^7 + 6x^6 - 9x^4}{x^8}$

$\frac{d}{dx}[\frac{2x^3 - 9x}{x^4}] = \frac{x^4(28x^3 + 6x^2 - 9)}{x^8}$

$\frac{d}{dx}[\frac{2x^3 - 9x}{x^4}] = \frac{28x^3 + 6x^2 - 9}{x^4}$

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问题9:应用乘积法则和除法法则

判断题:对于同一个函数，你可能必须使用除法和幂法则。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

真正的

解释：

把函数 $f(x) = \frac{xe^x}{3 - x}$ 为例。我们首先要用乘法定则来求分子一旦它简化了我们就需要用除法定则来求整个函数的导数。

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问题10:应用乘积法则和除法法则

的形式的函数为真或假 f(x) = g(x)h(x) ，如果其中一个的导数不存在 g(x) 或 h(x) 但对于另一个存在，你仍然可以用乘积法则来求整个函数的导数。

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

假

解释：

这不是真的。为了使用乘积法则你需要能够推导出每一个函数，然后求和。如果其中一个函数的导数不存在那么你就不能用乘法定则。

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德州农工大学金斯维尔分校，数学学士。德州农工大学金斯维尔分校，数学硕士。

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