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微积分3:向量减法

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例子问题

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问题288:向量与向量运算

找出不同之处 u-v

u=<2,3>

v=<0,1>

可能的答案:

<2,4>

<2,2>

<-2,-2>

正确答案:

<2,2>

解释：

的区别 a-b 两个向量的 <a_1,a_2> 而且 <b_1,b_2> 被定义为

<a_1-b_1,a_2-b_2>

对于这两个向量

u=<2,3>

v=<0,1>

区别在于

u-v=<2,3>-<0,1>

=<2-0,3-1>

=<2,2>

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示例问题289:向量与向量运算

给定向量

v=(1,3)

w=(5,2)

找到 v-w ．

可能的答案:

v-w=(-4,1)

v-w=(4,-1)

v-w=(1,-4)

v-w=(6,5)

正确答案:

v-w=(-4,1)

解释：

给定向量

v=(1,3)

w=(5,2)

我们可以找出差异 v-w 通过分量相减

v-w=(1,3)-(5,2)=(1-5,3-2)=(-4,1)

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例子问题290:向量与向量运算

对以下指定的向量执行以下操作:

$3\mathbf{u}-2\mathbf{v}$

在哪里

$\mathbf{u}=4 \mathbf{i}+8\mathbf{j}+12\mathbf{k},\: \mathbf{v}=3\mathbf{i}+6\mathbf{j}+9\mathbf{k}$

可能的答案:

$\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$

$18\mathbf{i}+36\mathbf{j}+54\mathbf{k}$

$7\mathbf{i}+12\mathbf{j}+17\mathbf{k}$

$6\mathbf{i}+12\mathbf{j}+18\mathbf{k}$

$17\mathbf{i}+34\mathbf{j}+51\mathbf{k}$

正确答案:

$6\mathbf{i}+12\mathbf{j}+18\mathbf{k}$

解释：

首先，将这些向量乘以它们对应的系数:

$3\mathbf{u}=3(4\mathbf{i}+8\mathbf{j}+12\mathbf{k})=12\mathbf{i}+24\mathbf{j}+36\mathbf{k}$

$2\mathbf{v}=2(3\mathbf{i}+6\mathbf{j}+9\mathbf{k})=6\mathbf{i}+12\mathbf{j}+18\mathbf{k}$

现在我们简单地减去这两个向量:

$3\mathbf{u}-2\mathbf{v}=(12-6)\mathbf{i}+(24-12)\mathbf{j}+(36-18)\mathbf{k}=6\mathbf{i}+12\mathbf{j}+18\mathbf{k}$

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问题291:向量与向量运算

减去向量 $\left \langle -3,6,-9\right \rangle$ 而且 $\left \langle -1,2,-9\right \rangle$ ．

可能的答案:

$\left \langle -2,0,4\right \rangle$

$\left \langle -2,4,-18\right \rangle$

$\left \langle -2,4,0\right \rangle$

$\left \langle -4,8,-18\right \rangle$

$\left \langle -4,4,-18\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle -2,4,0\right \rangle$

解释：

建立一个向量相减的表达式。

$\left \langle -3,6,-9\right \rangle-\left \langle -1,2,-9\right \rangle$

一定要注意向量相减时符号的变化。

$\left \langle -3-(-1),6-2,(-9)-(-9)\right \rangle$

化简这个向量。

答案是: $\left \langle -2,4,0\right \rangle$

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问题292:向量与向量运算

找出两者的区别， u-v ，两个向量的。
u=<-3,-7>
v=<6,4>

可能的答案:

<-3,3>

<9,11>

<3,-3>

<-9,-11>

正确答案:

<-9,-11>

解释：

为了找出两者的区别， u-v ，我们把负号分配进去，变成向量的加法。
u-v=<-3,-7>-<6,4>=<-3,-7>+<-6,-4>
两个向量的和被定义为

两个向量的和

a=<a_1, a_2>

b=<b_1, b_2>

被定义为

a+b=<a_1+b_1, a_2+b_2>

因此，区别在于

<-9,-11>

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例子问题1:向量减法

计算如下: $\left \langle 1,3,2\right \rangle-\left \langle 2,-4,1\right \rangle$ ．

可能的答案:

$\left \langle -1,7,1\right \rangle$

$\left \langle 3,-7,2\right \rangle$

$\left \langle -2,0,1\right \rangle$

$\left \langle -1,1,1\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle -1,7,1\right \rangle$

解释：

向量相减的公式是 $a-b=\left \langle a_1-b_!,a_2-b_2,a_3-b_3\right \rangle$ ．代入已知的值，我们得到 $\left \langle (1-2),(3--4),(2-1)\right \rangle=\left \langle -1,7,1\right \rangle$

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例子问题2:向量减法

解决:

$\left \langle z, x, y^2z\right \rangle-\left \langle \ln(z), x, 2\right \rangle$

可能的答案:

$\left \langle z-\ln(z), 1, y^2z-2\right \rangle$

$z-\ln(z)+y^2z-2$

$\left \langle z, 2x, y^2z-2\right \rangle$

$\left \langle z-\ln(z), 0, y^2z-2\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle z-\ln(z), 0, y^2z-2\right \rangle$

解释：

要减去向量，我们只需减去它们各自的分量:

$\left \langle z-\ln(z), 0, y^2z-2\right \rangle$

注意，我们的结果仍然是一个向量。

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示例问题295:向量与向量运算

找出两者之间的区别 $\left \langle 2,0,6\right \rangle$ 而且 $\left \langle 3,3,1\right \rangle$ ．

可能的答案:

$\left \langle 0,-1,4\right \rangle$

$\left \langle 2,0,5\right \rangle$

$\left \langle 1,3,1\right \rangle$

$\left \langle -1,-3,5\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle -1,-3,5\right \rangle$

解释：

向量之差的公式是

$\left \langle x_1,x_2,x_3\right \rangle-\left \langle y_1,y_2,y_3\right \rangle=\left \langle x_1-y_1,x_2-y_2,x_3-y_3\right \rangle$

利用给定的向量，我们得到

$\left \langle 2-3,0-3,6-1\right \rangle=\left \langle -1,-3,5\right \rangle$ ．

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示例问题3:向量减法

计算如下操作: $\left \langle 2,5,19\right \rangle-\left \langle 3,0,1\right \rangle$ ．

可能的答案:

$\left \langle 2,0,0\right \rangle$

$\left \langle 17,38,12\right \rangle$

$\left \langle -1,5,18\right \rangle$

$\left \langle -2,6,10\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle -1,5,18\right \rangle$

解释：

向量a和b相减的公式是

$a-b=\left \langle a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3\right \rangle$ ．

代入已知的值，我们得到

$\left \langle (2-3),(5-0),(19-1)\right \rangle=\left \langle -1,5,18\right \rangle$

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问题297:向量与向量运算

执行以下向量运算: $\left \langle 2,12,13\right \rangle-\left \langle 5,5,1\right \rangle$

可能的答案:

$\left \langle -3,7,12\right \rangle$

$\left \langle -2,1,5\right \rangle$

$\left \langle 3,7,12\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle -3,7,12\right \rangle$

解释：

向量之差的公式 $a=\left \langle x_1,y_1,z_1\right \rangle$ 而且 $b=\left \langle x_2,y_2,z_2\right \rangle$ 是 $a-b=\left \langle (x_1-x_2),(y_1-y_2),(z_1-z_2) \right \rangle$ ．利用问题表述中的向量，我们得到 $\left \langle (2-5),(12-5),(13-1) \right \rangle=\left \langle -3,7,12\right \rangle$

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