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微积分3:法向量

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例子问题

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例子问题1:法向量

求给定平面的单位法向量。

3x+3y+4z=10 。

可能的答案:

V_n=(3, 3, 4 )

$V_n=(\frac{1}{{34}}, \frac{1}{{34}}, \frac{1}{{34}} )$

$V_n=(\frac{1}{\sqrt{34}}, \frac{1}{\sqrt{34}}, \frac{1}{\sqrt{34}} )$

$V_n=(\frac{3}{\sqrt{34}}, \frac{3}{\sqrt{34}}, \frac{4}{\sqrt{34}} )$

$V_n=(\frac{3}{{34}}, \frac{3}{{34}}, \frac{4}{{34}} )$

正确答案:

$V_n=(\frac{3}{\sqrt{34}}, \frac{3}{\sqrt{34}}, \frac{4}{\sqrt{34}} )$

解释：

回想一下单位法向量的定义。

$V_n=\frac{V}{||V||}$

让 V=(3,3,4)

$||V||=\sqrt{3^2+3^2+4^2}=\sqrt{34}$

$V_n=(\frac{3}{\sqrt{34}}, \frac{3}{\sqrt{34}}, \frac{4}{\sqrt{34}} )$

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例子问题2:法向量

的单位法向量 $v(t)=t^{2}\hat{i}+3t^{2}\hat{j}$ 。

可能的答案:

不存在

$N(t)=\frac{1}{\sqrt{10}}\hat{i}+\frac{3}{\sqrt{10}}\hat{j}$

$N(t)=2t\hat{i}+6t\hat{j}$

$N(t)=t^{2}\hat{i}+3t^{2}\hat{j}$

正确答案:

不存在

解释：

为了找到单位法向量，你必须先找到单位切向量。单位切向量的方程， T(t) ,是

$T(t)=\frac{r(t)}{\left \| r(t)\right \|}$

在哪里 r(t) 是向量 $\left \| r(t)\right \|$ 是向量的大小。

单位法向量的方程， N(t) ,是

$N(t)=\frac{T'(t)}{\left \| T'(t)\right \|}$

在哪里 T'(t) 单位切向量的导数和 $\left \| T'(t)\right \|$ 是单位向量的导数的大小。

这个问题

$v(t)=t^{2}\hat{i}+3t^{2}\hat{j}$

$\left \| v(t)\right \|=\sqrt{\left (t^{2} \right )^{2}+\left (3t^{2} \right )^{2}}=\sqrt{t^{4}+9t^{4}}=\sqrt{10t^{4}}=t^{2}\sqrt{10}$

$T(t)=\frac{v(t)}{\left \| v(t)\right \|}=\frac{t^{2}\hat{i}+3t^{2}\hat{j}}{t^{2}\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\hat{i}+\frac{3}{\sqrt{10}}\hat{j}$

$T'(t)=\frac{d}{dt}\left ( \frac{1}{\sqrt{10}}\hat{i}+\frac{3}{\sqrt{10}}\hat{j} \right )=0$

$\left \| T'(t)\right \|=\sqrt{\left (0\right )^{2}}=0$

$N(t)=\frac{T'(t)}{\left \| T'(t)\right \|}=\frac{0}{0}=DNE$

没有单位法向量 $v(t)=t^{2}\hat{i}+3t^{2}\hat{j}$ 。

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示例问题3:法向量

的单位法向量 $v(t)=sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j}$ 。

可能的答案:

不存在

$N(t)=cos(t)\hat{i}-sin(t)\hat{j}$

$N(t)=sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j}$

N(t)=1

正确答案:

$N(t)=cos(t)\hat{i}-sin(t)\hat{j}$

解释：

为了找到单位法向量，你必须先找到单位切向量。单位切向量的方程， T(t) ,是

$T(t)=\frac{r(t)}{\left \| r(t)\right \|}$

在哪里 r(t) 是向量 $\left \| r(t)\right \|$ 是向量的大小。

单位法向量的方程， N(t) ,是

$N(t)=\frac{T'(t)}{\left \| T'(t)\right \|}$

在哪里 T'(t) 单位切向量的导数和 $\left \| T'(t)\right \|$ 是单位向量的导数的大小。

这个问题

$v(t)=sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j}$

$\left \| v(t)\right \|=\sqrt{\left (sin(t) \right )^{2}+\left (cos(t) \right )^{2}}=\sqrt{1}=1$

$T(t)=\frac{v(t)}{\left \| v(t)\right \|}=\frac{sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j}}{1}=sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j}$

$T'(t)=\frac{d}{dt}\left (sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j} \right )=cos(t)\hat{i}-sin(t)\hat{j}$

$\left \| T'(t)\right \|=\sqrt{\left (cos(t) \right )^{2}+\left (sin(t) \right )^{2}}=\sqrt{1}=1$

$N(t)=\frac{T'(t)}{\left \| T'(t)\right \|}=\frac{cos(t)\hat{i}-sin(t)\hat{j}}{1}=cos(t)\hat{i}-sin(t)\hat{j}$

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示例问题4:法向量

的单位法向量 $v(t)=e^{t}\hat{i}+2e^{t}\hat{j}$ 。

可能的答案:

$N(t)=e^{t}\sqrt{5}$

$N(t)=e^{t}\hat{i}+2e^{t}\hat{j}$

$N(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\hat{i}+\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{j}$

DNE

正确答案:

DNE

解释：

为了找到单位法向量，你必须先找到单位切向量。单位切向量的方程， T(t) ,是

$T(t)=\frac{r(t)}{\left \| r(t)\right \|}$

在哪里 r(t) 是向量 $\left \| r(t)\right \|$ 是向量的大小。

单位法向量的方程， N(t) ,是

$N(t)=\frac{T'(t)}{\left \| T'(t)\right \|}$

在哪里 T'(t) 单位切向量的导数和 $\left \| T'(t)\right \|$ 是单位向量的导数的大小。

这个问题

$v(t)=e^{t}\hat{i}+2e^{t}\hat{j}$

$\left \| v(t)\right \|=\sqrt{\left (e^{t} \right )^{2}+\left (2e^{t} \right )^{2}}=\sqrt{e^{2t}+4e^{2t}}=\sqrt{5e^{2t}}=e^{t}\sqrt{5}$

$T(t)=\frac{v(t)}{\left \| v(t)\right \|}=\frac{e^{t}\hat{i}+2e^{t}\hat{j}}{e^{t}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\hat{i}+\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{j}$

$T'(t)=\frac{d}{dt}\left (\frac{1}{\sqrt{5}}\hat{i}+\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{j} \right )=0$

$\left \| T'(t)\right \|=0$

$N(t)=\frac{T'(t)}{\left \| T'(t)\right \|}=\frac{0}{0}=DNE$

的法向量 $v(t)=e^{t}\hat{i}+2e^{t}\hat{j}$ 不存在。

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示例问题5:法向量

的单位法向量 $v(t)=5cos(t)\hat{i}+5sin(t)\hat{j}+2\hat{k}$ 。

可能的答案:

$N(t)=5cos(t)\hat{i}+5sin(t)\hat{j}+2\hat{k}$

$N(t)=sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j}$

$N(t)=-sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j}$

$N(t)=\frac{5}{\sqrt{29}}cos(t)\hat{i}+\frac{5}{\sqrt{29}}sin(t)\hat{j}+\frac{2}{\sqrt{29}}\hat{k}$

正确答案:

$N(t)=-sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j}$

解释：

为了找到单位法向量，你必须先找到单位切向量。单位切向量的方程， T(t) ,是

$T(t)=\frac{r(t)}{\left \| r(t)\right \|}$

在哪里 r(t) 是向量 $\left \| r(t)\right \|$ 是向量的大小。

单位法向量的方程， N(t) ,是

$N(t)=\frac{T'(t)}{\left \| T'(t)\right \|}$

在哪里 T'(t) 单位切向量的导数和 $\left \| T'(t)\right \|$ 是单位向量的导数的大小。

这个问题

$v(t)=5cos(t)\hat{i}+5sin(t)\hat{j}+2\hat{k}$

$\left \| v(t)\right \|=\sqrt{\left (5cos(t) \right )^{2}+\left (5sin(t) \right )^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$

$T(t)=\frac{v(t)}{\left \| v(t)\right \|}=\frac{5cos(t)\hat{i}+5sin(t)\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{29}}$

$T(t)=\frac{v(t)}{\left \| v(t)\right \|}=\frac{5}{\sqrt{29}}cos(t)\hat{i}+\frac{5}{\sqrt{29}}sin(t)\hat{j}+\frac{2}{\sqrt{29}}\hat{k}$

$T'(t)=\frac{d}{dt}\left (\frac{5}{\sqrt{29}}cos(t)\hat{i}+\frac{5}{\sqrt{29}}sin(t)\hat{j}+\frac{2}{\sqrt{29}}\hat{k} \right )$

$T'(t)=\frac{-5}{\sqrt{29}}sin(t)\hat{i}+\frac{5}{\sqrt{29}}cos(t)\hat{j}+0\hat{k}$

$T'(t)=\frac{-5}{\sqrt{29}}sin(t)\hat{i}+\frac{5}{\sqrt{29}}cos(t)\hat{j}$

$\left \| T'(t)\right \|=\sqrt{\left (\frac{-5}{\sqrt{29}}sin(t) \right )^{2}+\left (\frac{5}{\sqrt{29}}cos(t) \right )^{2}}$

$\left \| T'(t)\right \|=\sqrt{\frac{25}{29}sin^2(t)+\frac{25}{29}cos^2(t)}=\sqrt{\frac{25}{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$

$N(t)=\frac{T'(t)}{\left \| T'(t)\right \|}=\frac{\frac{-5}{\sqrt{29}}sin(t)\hat{i}+\frac{5}{\sqrt{29}}cos(t)\hat{j}}{\frac{5}{\sqrt{29}}}=-sin(t)\hat{i}+cos(t)\hat{j}$

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示例问题6:法向量

求法向量 $\vec{n}$ 它垂直于下面给出的平面。

-3x + 5y -z = 25

可能的答案:

$\vec{n}= 3 \hat{x}+5\hat{y}-\hat{z}$

$\vec{n}= \hat{x}+\hat{y}+\hat{z}$

$\vec{n}= -3 \hat{x}-5\hat{y}+\hat{z}$

$\vec{n}= -3 \hat{x}+5\hat{y}-\hat{z}$

不存在这样的向量。

正确答案:

$\vec{n}= -3 \hat{x}+5\hat{y}-\hat{z}$

解释：

从平面方程的性质出发，可以简单地取笛卡尔坐标变量的系数来给出法向量 $\vec{n}$ 它垂直于这个平面。对于一个给定的平面，我们可以这样写

$ax+by+cz=C, \vec{n}= a \hat{x}+b\hat{y}+c\hat{z}$ 。

从这个结果中，我们发现，对于我们的例子，

$\vec{n}= -3 \hat{x}+5\hat{y}-\hat{z}$ 。

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示例问题7:法向量

关于垂直于平面的向量，下列哪项是错误的维空间)?

可能的答案:

将它乘以一个标量得到平面的另一个法向量。

它平行于平面的任何法向量。

它与平面正交。

其他的答案都是正确的。

这个平面的任意两个法向量的外积是 <0,0,0> 。

正确答案:

其他的答案都是正确的。

解释：

这些都是关于平面法向量的事实。(如果表面不是平面，那么其中一些就不再成立了。)

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示例问题8:法向量

确定这两个向量， $\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} 5\\0 \\7 \end{bmatrix}$ 而且 $\overrightarrow{b}=\begin{bmatrix} -14\\11 \\10 \end{bmatrix}$ ，是否正交。

可能的答案:

这两个向量不正交。

这两个向量是正交的。

正确答案:

这两个向量是正交的。

解释：

向量可以说是正交的，也就是说垂直或法向量，如果它们的点积等于零:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\rightarrow \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$

求两个给定符号的向量的点积

$\overrightarrow{a}\begin{bmatrix} a_1\\a_2 \\ a_3 \end{bmatrix};\overrightarrow{b}\begin{bmatrix} b_1\\b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$

只需将行间的项相乘:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

为我们的向量, $\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} 5\\0 \\7 \end{bmatrix}$ 而且 $\overrightarrow{b}=\begin{bmatrix} -14\\11 \\10 \end{bmatrix}$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-70+0+70=0$

这两个向量是正交的。

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示例问题9:法向量

确定这两个向量， $\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} 7\\7 \\3 \end{bmatrix}$ 而且 $\overrightarrow{b}=\begin{bmatrix}1 \\-1 \\2 \end{bmatrix}$ ，是否正交。

可能的答案:

这两个向量是正交的。

这两个向量不正交。

正确答案:

这两个向量不正交。

解释：

向量可以说是正交的，也就是说垂直或法向量，如果它们的点积等于零:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\rightarrow \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$

求两个给定符号的向量的点积

$\overrightarrow{a}\begin{bmatrix} a_1\\a_2 \\ a_3 \end{bmatrix};\overrightarrow{b}\begin{bmatrix} b_1\\b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$

只需将行间的项相乘:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

为我们的向量, $\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} 7\\7 \\3 \end{bmatrix}$ 而且 $\overrightarrow{b}=\begin{bmatrix}1 \\-1 \\2 \end{bmatrix}$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=7-7+6=6$

这两个向量不正交。

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示例问题10:法向量

确定这两个向量， $\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} 11\\8 \\-10 \end{bmatrix}$ 而且 $\overrightarrow{b}=\begin{bmatrix} 2\\3 \\4 \end{bmatrix}$ ，是否正交。

可能的答案:

这两个向量不正交。

这两个向量是正交的。

正确答案:

这两个向量不正交。

解释：

向量可以说是正交的，也就是说垂直或法向量，如果它们的点积等于零:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\rightarrow \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$

求两个给定符号的向量的点积

$\overrightarrow{a}\begin{bmatrix} a_1\\a_2 \\ a_3 \end{bmatrix};\overrightarrow{b}\begin{bmatrix} b_1\\b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$

只需将行间的项相乘:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

为我们的向量, $\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} 11\\8 \\-10 \end{bmatrix}$ 而且 $\overrightarrow{b}=\begin{bmatrix} 2\\3 \\4 \end{bmatrix}$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=22+24-40=6$

这两个向量不正交。

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