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微积分3:线积分

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例子问题

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例子问题1:线积分

写出经过这些点的直线的参数方程 $\left ( 0,1,3\right )$ 而且 $\left ( 2,5,8\right )$ ．

可能的答案:

x=5t+3,y=3t=1,z=-5t+1

x=-2t,y=4t+1,z=5t+3

x=2t+4,y+3t+1,z=t

x=-2t,y=-4t+1,z=-5t+3

正确答案:

x=-2t,y=-4t+1,z=-5t+3

解释：

首先，你必须找到平行于这条直线的向量。

这个向量是

$v=\left \langle x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2\right \rangle$ ．

根据已知的点，这就变成了

$\left \langle -2,-4,-5\right \rangle$ ．

为了形成参数方程，我们需要在我们想要的直线上选一个点。

这一点 $\left ( 0,1,3\right )$ 使用。

直线的矢量形式由下面的方程得到

$r=\left ( x_1,y_1,z_1\right )+t\left \langle v\right \rangle=\left ( 0,1,3\right )+t\left \langle -2,-4,-5\right \rangle$ ．

然后我们用变量x, y和z来重写每个表达式。

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例子问题2:线积分

求线积分 $\int_C f(x,y)ds$ 函数的

f(x,y)=y+cos(x) 在线段上从 (0,0) 来 (4,5)

可能的答案:

$\frac{5\sqrt{41}}{2}$

$\frac{9\sqrt{21}}{7}$

$\frac{11\sqrt{41}}{4}$

$\frac{11\sqrt{21}}{3}$

$\frac{\sqrt{31}}{3}$

正确答案:

$\frac{5\sqrt{41}}{2}$

解释：

求线积分 $\int_C f(x,y)ds$ 使用函数

$f(x,y)=y+\cos(\pi x)$ 在线段上从 (0,0) 来 (4,5)

定义要表示的参数方程

给定的点在直线上 $y = \frac{5}{4}x$ ．定义参数 x = t ,然后可以写成 $y =\frac{5}{4}t$ ．因此，为的参数方程是:

x(t)=t

$y(t)=\frac{5}{4}t$

_________________________________________________________________

函数的线积分 f(x,y) 沿着曲线用参数方程 x(t) 而且 y(t) 与 $a\leq t\leq b$ 定义为:

$\int_C f(x,y)ds = \int_a^bf(x(t),y(t))\left \| \vec{r'}(t)\right \|dt$ (1）

在哪里 $\vec{r'(t)}$ 向量是向量的导数吗 $\vec{r}(t)=\left<x(t),y(t)\right>$ ,因此 $\left \| \vec{r'(t)}\right \|$ 就是向量导数的大小。

______________________________________________________________

写出向量 $\vec{r(t)}$ ：

$\vec{r(t)}=\left<t, \frac{5}{4}t\right>$

区分,

$\vec{r'(t)}=\left<1,\frac{5}{4}\right>$

这个矢量的绝对值(大小)为:

$\left \| \vec{r'}(t)\right \|=\left \| \left<1,\frac{5}{4 }\right>\right \|=\sqrt{1^2 +\left(\frac{5}{4} \right )^2}=\frac{\sqrt{41}}{4}$

写函数在参数方面：

$f(x(t),y(t))=f\left(t,\frac{5}{4}t\right) =\frac{5}{4}t+\cos(\pi t)$

将所有内容代入式(1)，注意积分的极限为 $0\leq t \leq 4$ 因为这个参数 x(t)=t 不同来在线段上积分。

$\int_C(y+\cos(\pi x))ds=\int_0^4\left(\frac{5}{4}t+\cos(\pi t)\right)\frac{\sqrt{41}}{4}dt$

$=\frac{\sqrt{41}}{4}\left[\frac{5}{8}t^2+\frac{1}{\pi}\sin(\pi t) \right ]_{t=0}^{t=4}$

$=\frac{\sqrt{41}}{4}\left[\frac{5}{8}(16)+\frac{1}{\pi }\sin(4 \pi) -0-\frac{1}{\pi}\sin(0)\right ]$

$=\frac{5\sqrt{41}}{2}$

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例子问题3:线积分

评估 $\int_{C} \nabla f \cdot d\vec{r}$ ,在那里 $f(x,y,z)=\cos(2\pi x)+\sin(3\pi y)+xyz$ ,有没有起始点 (1,1,-2) ，止于 (3,4,5) ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

因为我们不需要采取特定的路径，所以我们只计算 f(x,y,z) 在端点处。

$\int_{C} \nabla f \cdot d\vec{r}=f(1,1,-2)-f(3,4,5)$

$=\cos(2\pi (1))+\sin(3\pi (1))+(1)(1)(-2)-(\cos(2\pi (3))+\sin(4\pi (4))+(3)(4)(5))$

$=\cos(2\pi)+\sin(3\pi)-2-(\cos(6\pi)+\sin(12\pi)+60)$

=1+0-2-(1+0+60)=-62

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例子问题1:线积分

用格林定理求值 $\oint_C 5xy \ dx +x^3y^2 \ dy$ ,在那里三角形有顶点吗 (0,0) ， (1,0) ， (1,2) 有积极的方向。

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先，我们需要确保满足格林定理的条件。

满足条件是因为它是正定向的，分段平滑的，简单的，并且在区域下封闭(见下文)。

$0\leq x \leq 1$

$0 \leq y \leq 2x$

在这种情况下 P=5xy , Q=x^3y^2 ,在那里,指 $\oint_C P \ dx +Q \ dy$ ．

由格林定理可知

$\oint_C P \ dx +Q \ dy=\int \int_D \Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big) dA$

我们来求偏导。

$\frac{\partial Q}{\partial x}=3x^2y^2$

$\frac{\partial P}{\partial y}=5x$

$\oint_C 5xy \ dx +x^3y^2 \ dy=\int \int_D 3x^2y^2-5x \ dA$

$=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2x} 3x^2y^2-5x \ dy\ dx$

$=\int_{0}^{1} \Big(\frac{1}{3}\cdot3x^2y^3-5xy\Big)\Big|_{0}^{2x}\ dx$

$=\int_{0}^{1} \Big(x^2(2x)^3-5x(2x)\Big)\ dx$

$=\int_{0}^{1} 8x^5-10x^2\ dx$

$= \frac{4}{3}x^6-\frac{10}{3}x^3\Big|_{0}^{1}$

$= \frac{4}{3}(1)^6-\frac{10}{3}(1)^3-0=\frac{4}{3}-\frac{10}{3}=-\frac{6}{3}=-2$

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例子问题2:格林公式

用格林定理求线积分

$\int_{c}3ydx-4xdy$

在区域R上，通过连接点来描述 (0,0),(2,0),(2,4) ，顺时针方向。

可能的答案:

正确答案:

解释：

利用格林定理

$\int_C{F}dr=\int \int\left[{\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}}\right]dA$

$\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}=-4-3=-7$

$Area=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}\times2\times4=4$

因为这个区域是顺时针方向的，我们有

$\int_C{F}dr=-\int\int\left[\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\right]dA$

这给了我们

$\int_C{F} dr=-(-7)\times4=28$

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例子问题3:格林公式

用格林定理求线积分

$\int_C 5y dx - 4x dy$

在连接点的区域上 (0,0),(2,0),(2,4) 顺时针的

可能的答案:

正确答案:

解释：

$\int_C 5y dx - 4x dy$

利用格林定理

$\int_C F dr=\int\int \left[\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\right]dA$

$Q=-4x\\ \frac{\partial{Q}}{\partial{x}}=-4$ $P=5y\\ \frac{\partial{P}}{\partial{y}}=5$

$Area=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}\times2\times4=4$

因为这个区域是顺时针方向的

$\int_C F dr=-\int\int (-4-5)dA$

$\int_C F dr=\int\int 9dA=(9)(4)=36$

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例子问题1:线积分

计算 $div \vec{F}$ 为

$\vec{F}=yz\ln(x)\vec{i}+2xyz\vec{j}+z\vec{k}$

可能的答案:

$div\vec{F}=0$

$div\vec{F}=2xz+1$

$div\vec{F}=-\frac{yz}{x}+2xz$

$div\vec{F}=\frac{yz}{x}$

$div\vec{F}=\frac{yz}{x}+2xz+1$

正确答案:

$div\vec{F}=\frac{yz}{x}+2xz+1$

解释：

为了求散度，我们需要记住公式。

散度公式:

$div\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ ,在那里，,对应于给定向量场的分量 $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$ ．

现在让我们把这个应用到我们的情况中。

$div\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(yz\ln(x)\Big)+\frac{\partial}{\partial y}\Big(2xyz\Big)+\frac{\partial}{\partial z}\Big(z\Big)$

$div\vec{F}=\frac{yz}{x}+2xz+1$

报告错误

例5:线积分

计算 $div\vec{F}$ 为

$\vec{F}=x^2z\ln(y)\vec{i}+x2^{y^2}z\vec{j}+x^x\vec{k}$

可能的答案:

$div\vec{F}=2xz\ln(y)+2\log(2)xyz2^{y^2}$

$div\vec{F}=2\log(2)xyz2^{y^2}$

$div\vec{F}=0$

$div\vec{F}=-2xz\ln(y)-2\log(2)xyz2^{y^2}$

$div\vec{F}=2xz\ln(y)$

正确答案:

$div\vec{F}=2xz\ln(y)+2\log(2)xyz2^{y^2}$

解释：

为了求散度，我们需要记住公式。

散度公式:

$div\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ ,在那里，,对应于给定向量场的分量 $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$ ．

现在让我们把这个应用到我们的情况中。

$div\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(x^2z\ln(y)\Big)+\frac{\partial}{\partial y}\Big(x2^{y^2}z\Big)+\frac{\partial}{\partial z}\Big(x^x\Big)$

$div\vec{F}=2xz\ln(y)+2\log(2)xyz2^{y^2}+0$

$div\vec{F}=2xz\ln(y)+2\log(2)xyz2^{y^2}$

报告错误

例子问题6:线积分

计算 $div\vec{F}$ 为

$\vec{F}=xy\vec{i}+xz\vec{j}+xyz\vec{k}$

可能的答案:

$div \vec{F}=x$

$div \vec{F}=1$

$div \vec{F}=y$

$div \vec{F}=y(1+x)$

$div \vec{F}=(1+x)$

正确答案:

$div \vec{F}=y(1+x)$

解释：

为了求散度，我们需要记住公式。

散度公式:

$div\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ ,在那里，,对应于给定向量场的分量 $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$ ．

现在让我们把这个应用到我们的情况中。

$div\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(xy\Big)+\frac{\partial}{\partial y}\Big(xz\Big)+\frac{\partial}{\partial z}\Big(xyz\Big)$

$div \vec{F}=y+0+xy$

$div \vec{F}=y+xy=y(1+x)$

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示例问题7:线积分

找到 $div\vec{F}$ ,在那里 $\vec{F}=xyz\vec{i}+x^2z^{-4}\vec{j}+y^{-10}z^{3}\vec{k}$

可能的答案:

$div\vec{F}=yz+\frac{3z^2}{y^{10}}$

$div\vec{F}=xyz+\frac{3z^2}{y^{10}}$

$div\vec{F}=yz+\frac{3z^2}{y^{-10}}$

$div\vec{F}=yz+z^4+\frac{3z^2}{y^{10}}$

$div\vec{F}=\frac{3z^2}{y^{10}}$

正确答案:

$div\vec{F}=yz+\frac{3z^2}{y^{10}}$

解释：

为了求散度，我们需要记住公式。

散度公式:

$div\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ ,在那里，,对应于给定向量场的分量 $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$ ．

现在让我们把这个应用到我们的情况中。

$div\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(xyz\Big)+\frac{\partial}{\partial y}\Big(x^2z^{-4}\Big)+\frac{\partial}{\partial z}\Big(y^{-10}z^3\Big)$

$div\vec{F}={yz}+0+3y^{-10}z^2=yz+\frac{3z^2}{y^{10}}$

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