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微积分3:格林定理

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例子问题

问题#1551:微积分3

用格林定理求值 $\oint_C 5xy \ dx +x^3y^2 \ dy$ ,在那里三角形有顶点吗 (0,0) ， (1,0) ， (1,2) 有积极的方向。

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先，我们需要确保满足格林定理的条件。

满足条件是因为它是正定向的，分段平滑的，简单的，并且在区域下封闭(见下文)。

$0\leq x \leq 1$

$0 \leq y \leq 2x$

在这种情况下 P=5xy , Q=x^3y^2 ,在那里,指 $\oint_C P \ dx +Q \ dy$ ．

由格林定理可知

$\oint_C P \ dx +Q \ dy=\int \int_D \Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big) dA$

我们来求偏导。

$\frac{\partial Q}{\partial x}=3x^2y^2$

$\frac{\partial P}{\partial y}=5x$

$\oint_C 5xy \ dx +x^3y^2 \ dy=\int \int_D 3x^2y^2-5x \ dA$

$=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2x} 3x^2y^2-5x \ dy\ dx$

$=\int_{0}^{1} \Big(\frac{1}{3}\cdot3x^2y^3-5xy\Big)\Big|_{0}^{2x}\ dx$

$=\int_{0}^{1} \Big(x^2(2x)^3-5x(2x)\Big)\ dx$

$=\int_{0}^{1} 8x^5-10x^2\ dx$

$= \frac{4}{3}x^6-\frac{10}{3}x^3\Big|_{0}^{1}$

$= \frac{4}{3}(1)^6-\frac{10}{3}(1)^3-0=\frac{4}{3}-\frac{10}{3}=-\frac{6}{3}=-2$

报告错误

例子问题2:格林公式

用格林定理求线积分

$\int_{c}3ydx-4xdy$

在区域R上，通过连接点来描述 (0,0),(2,0),(2,4) ，顺时针方向。

可能的答案:

正确答案:

解释：

利用格林定理

$\int_C{F}dr=\int \int\left[{\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}}\right]dA$

$\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}=-4-3=-7$

$Area=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}\times2\times4=4$

因为这个区域是顺时针方向的，我们有

$\int_C{F}dr=-\int\int\left[\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\right]dA$

这给了我们

$\int_C{F} dr=-(-7)\times4=28$

报告错误

例子问题3:格林公式

用格林定理求线积分

$\int_C 5y dx - 4x dy$

在连接点的区域上 (0,0),(2,0),(2,4) 顺时针的

可能的答案:

正确答案:

解释：

$\int_C 5y dx - 4x dy$

利用格林定理

$\int_C F dr=\int\int \left[\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\right]dA$

$Q=-4x\\ \frac{\partial{Q}}{\partial{x}}=-4$ $P=5y\\ \frac{\partial{P}}{\partial{y}}=5$

$Area=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}\times2\times4=4$

因为这个区域是顺时针方向的

$\int_C F dr=-\int\int (-4-5)dA$

$\int_C F dr=\int\int 9dA=(9)(4)=36$

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