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微积分2:收敛与发散

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例子问题

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例子问题1:比值判别法

这些级数中哪一个不能用比值检验正确地检验收敛/发散?(以下哪个系列不符合比率检验?)

可能的答案:

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^2}{3^k}$

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-2)^k}{k!}$

$\sum_{k=0}^{\infty} k$

其他答案都没有。

正确答案:

$\sum_{k=0}^{\infty} k$

解释：

当 $\lim_{k\to \infty} \left |\frac{a_{k+1}}{a_k} \right | =1$ ．否则级数绝对收敛于 $\lim_{k\to \infty} \left |\frac{a_{k+1}}{a_k} \right | <1$ ，如果发散 $\lim_{k\to \infty} \left |\frac{a_{k+1}}{a_k} \right | >1$ ．

测试系列 $\sum_{k=0}^{\infty} k$ ，我们有

$\lim_{k\to\infty} \left |\frac{a_{k+1}}{a_k} \right | = \lim_{k\to\infty} \left |\frac{(k+1)}{(k)} \right | = \lim_{k\to\infty} 1+ \frac{1}{k} = 1.$

因此，比率检验在这里不成立。(对于读者来说，这个系列已经出现了明显的分歧。然而，我们必须记住，数学中的所有直觉都需要严格的证明。我们正在尝试。)

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例子问题1:比值判别法

假设 $a_{n}=n^{\alpha}(n+1)$ ， $\alpha \ge 2$ ．使用比值检验，我们可以对级数说些什么:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$

可能的答案:

$\infty$

当我们使用比值检验时，我们不能得出结论。

它是收敛的。

$-\infty$

正确答案:

当我们使用比值检验时，我们不能得出结论。

解释：

根据这个问题的要求，我们将不得不使用比率检验。 $L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 如果L<1则级数绝对收敛，L>1则级数发散，如果L=1则级数既可以收敛也可以发散。

为此，我们需要计算: $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ ．在我们的例子中:

$a_{n}=\frac{1}{a_{n}}$

因此

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=(\frac{n}{n+1})^{\alpha}\frac{n+1}{n+2}$ ．

我们知道 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{n+1}=1$

这意味着

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=(\frac{n}{n+1})^{\alpha}\frac{n+1}{n+2}=1\forall\quad \alpha$

由于由比值检验L=1，我们不能得出级数收敛的结论。

报告错误

例子问题1:比值判别法

我们考虑这个系列: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{72n+89}$ ，利用比值检验来确定级数的收敛类型。

可能的答案:

级数是快速收敛的。

$\frac{1}{79}$

我们无法对这个系列的性质作出结论。

这显然是有分歧的。

$\frac{3}{79}$

正确答案:

我们无法对这个系列的性质作出结论。

解释：

为了能够使用比率检验来得出结论，我们需要首先计算比率，然后使用 $L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 如果L<1则级数绝对收敛，L>1则级数发散，如果L=1则级数既可以收敛也可以发散。计算我们得到的比率，

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ ．

我们有:

$a_{n+1}=\frac{1}{72(n+1)+89}=\frac{1}{72n+161}$

因此有:

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=$ $\frac{72n+89}{72n+161}$

很明显 $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ．

通过比值检验，我们不能得出关于级数性质的结论。

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问题4:比值判别法

使用比值判别法，

关于这个系列我们能说些什么呢?

$\sum_{_n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 在哪里是一个整数，满足:

p> 1

可能的答案:

我们不能用比值判别法来研究这个级数。

我们用比值判别法不能得出结论。

$\frac{4}{5}$

$\infty$

正确答案:

我们用比值判别法不能得出结论。

解释：

让 $a_{n}$ 是这个级数的总称。我们将使用比率检验来检验级数的收敛性。

比率检验说明:

$L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_n+1}{a_n}\right|$

然后,如果

1) L<1级数绝对收敛。

2) L>1级数发散。

3) L=1，级数要么收敛要么发散。

因此我们需要评估，

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$

我们有,

$a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^p} ,a_{n}=\frac{1}{n^p}$

因此:

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n^p}{(n+1)^p}$ ．

我们知道

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}=1$

因此,

$\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n}{n+1})^p=1$

这意味着:

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1$

通过比值检验，我们不能得出关于级数性质的结论。我们将不得不使用另一种测试。

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例5:比值判别法

考虑以下系列:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 在哪里 $a_{n}$ 由:

$a_{n}=\frac{n}{n^\alpha +1},\alpha \ge 3$ ．利用比值检验，找出级数的性质。

可能的答案:

$\frac{\pi}{e}$

$\frac{3}{211}$

我们不能用比值判别法得出结论。

级数是收敛的。

正确答案:

我们不能用比值判别法得出结论。

解释：

让 $a_{n}$ 是这个级数的总称。我们将使用比率检验来检验级数的收敛性。

$L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 如果L<1则级数绝对收敛，L>1则级数发散，如果L=1则级数既可以收敛也可以发散。

我们需要评估，

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ 我们有:

$a_{n+1}= \frac{n+1}{(n+1)^\alpha +1},a_{n}=\frac{n}{n^\alpha +1}$ ．

因此:

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n^\alpha +1}{(n+1)^\alpha +1}\frac{n+1}{n}$ ．我们知道，

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}=1$ 因此

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^\alpha +1}{(n+1)^\alpha +1}=1$

这意味着:

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1$ ．

通过比值检验，我们不能得出关于级数性质的结论。我们将不得不使用另一种测试。

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问题41:微积分级数

使用比率检验来确定下面的级数是收敛的还是发散的。

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2^n}$

可能的答案:

这个级数是发散的。

$\frac{4}{13}$

级数是收敛的。

$\frac{6}{11}$

正确答案:

这个级数是发散的。

解释：

要使用比率检验，我们需要计算比率

$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ ．然后 $L=\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 如果L<1级数绝对收敛，L>1级数发散，如果L=1级数要么收敛，要么发散。

我们有 $a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}, a_n=\frac{n!}{2^n}$ 我们有:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^n(n+1)!}{2^{n+1}n!}$ ．

因为我们可以这样写:

(n+1)!=(n+1)n!

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2}$

因此 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2^n(n+1)!}{2^{n+1}n!}=\infty$ 因为 $\infty >1$ 级数必须发散。

因此，我们得出该级数是发散的。

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示例问题7:比值判别法

使用比率检验，你可以对以下系列说些什么:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(n)}{7^n}$

可能的答案:

这个级数有两个极限。

$\frac{sin(1)}{3}$

这个级数是发散的。

级数是收敛的。

级数收敛，当接近时发散 $\infty$ ．

正确答案:

级数是收敛的。

解释：

我们将使用比较检验来总结这个级数的收敛性。为了证明主级数是收敛的，我们必须使用比值检验。

$L=\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 如果L<1级数绝对收敛，L>1级数发散，如果L=1级数要么收敛，要么发散。

我们首先注意到，

$|sin(n)|\le 1 \forall n$ 其中n是正整数。

我们有 $\left|\frac{sin(n)}{7^n}\right|\le\frac{1}{7^n}$ ．通过比较检验，如果我们能证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{7^n}$ 通过比较检验，级数是收敛的吗 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(n)}{7^n}$ 也是收敛的。

我们现在考虑这个系列: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{7^n}$ ．我们有:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{7}$ 由于 $\frac{1}{7}< 1$ 通过比值检验，我们得出该级数是收敛的。

这表明级数是收敛的。

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例8:比值判别法

假设一个级数有正项。

如果 $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{2^n}{3^{n+1}}$ 关于级数的收敛性我们能说些什么呢?

可能的答案:

我们需要知道前两项。

我们需要知道显式公式 $a_{n}$ ．

这个级数是发散的。

级数是收敛的。

我们不能下结论。

正确答案:

这个级数是发散的。

解释：

已知这个级数的项是正的。我们知道

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{2^n}{3^{n+1}}$ ．这意味着 $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=3\frac{3^n}{2^n}}$ ．

现在我们注意到 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{3^n}{2^n}=\infty$ ．

然后 $L=\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 如果L<1级数绝对收敛，L>1级数发散，如果L=1级数要么收敛，要么发散。

自 $\infty>1$ 级数会发散。

比值判别法使我们得出级数是发散的结论。

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问题9:比值判别法

我们将考虑以下系列:

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{ln(n)^\alpha}$ ．

用比值判别法可以看出这个级数的性质吗?假设 $\alpha > 0$ ．

可能的答案:

我们需要知道的确切值 $\alpha$ ．

级数是收敛的。

级数收敛于 $\frac{1}{\alpha}$ ．

级数的性质取决于 $\alpha$ ．

我们不能对这个系列的性质作出结论。

正确答案:

我们不能对这个系列的性质作出结论。

解释：

注意，对于 $n\ge 2$ 而且 $\alpha>0$ 级数总是正的。

为了能够使用比率检验，我们必须计算比率:

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ ．然后找到 $L=\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ ．如果L<1级数绝对收敛，L>1级数发散，如果L=1级数要么收敛要么发散。

我们有 $a_{n+1}=\frac{1}{ln(n+1)^\alpha}$ 因此:

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{ln(n)^\alpha}{ln(n+1)^\alpha}=\left(\frac{ln(n)}{ln(n+1)}\right)^\alpha$

因此:

$\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ 自 $\lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{ln(n)}{ln(n+1)})^\alpha=1$

通过比值检验，我们不能得出关于级数性质的结论。

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例子问题10:比值判别法

我们考虑以下系列:

$\sum_ {n=1}^{\infty}a_{n}$ 在哪里 $a_{n}=\frac{1}{n\sqrt[n]{3}}$ ．

用比值判别法可以看出级数的性质是什么?

它是收敛的还是发散的?

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

级数是收敛的。

$\frac{1}{3}$

我们不能用比值检验得出结论。

这个级数是发散的。

正确答案:

我们不能用比值检验得出结论。

解释：

我们将使用比率检验，首先注意级数是正的。

我们将计算比率:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ ．注意: $a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)\sqrt[n+1]{3}}$

因此: $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}\frac{\sqrt[n]{3}}{\sqrt[n+1]{3}}$

现在我们有 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1$ 而且 $\frac{\sqrt[n]{3}}{\sqrt[n+1]{3}}=3^{{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}}=3^{\frac{1}{n(n+1)}}$

我们有 $\lim_{n\rightarrow \infty}3^{\frac{1}{n(n+1)}}=\lim_{n\rightarrow \infty}e^{\frac{1}{n(n+1)}ln(3))}=1$

$L=\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 如果L<1级数绝对收敛，L>1级数发散，如果L=1级数要么收敛，要么发散。

因此，比率检验是不确定的。我们需要使用另一种测试。

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