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微积分2:微积分级数

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例子问题

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例子问题1:几何级数

考虑: $\sum_{n=0}^{\infty} \left (\frac{\sqrt 2}{2}\right )^n$ ．级数是收敛还是发散?如果收敛，它覆盖到哪里?

可能的答案:

$2+\sqrt2$

$\sqrt{2}-2$

$2-\sqrt{2}$

Diverge

$\sqrt{2}$

正确答案:

$2+\sqrt2$

解释：

这是一个几何级数。用下面的公式，其中级数的第一项，和这个比值必须小于1。如果大于1，级数发散。

$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{\sqrt2}{2}}= \frac{1}{\frac{2-\sqrt2}{2}} = \frac{2}{2-\sqrt2}$

分母合理化。

$\frac{2}{2-\sqrt2} \cdot \frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2} = \frac{2(2+\sqrt2)}{4-2}= 2+\sqrt2$

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例子问题1:几何级数

考虑下面的总结: $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$ ．它是收敛的还是发散的?如果它收敛，它在哪里趋近?

可能的答案:

1.35

$\frac{4}{3}$

$\frac{7}{4}$

Diverges

1.33

正确答案:

$\frac{4}{3}$

解释：

这个问题可以用求和符号重新转换，可以看出这是几何的。

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...=\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \frac{1}{4} \right )^n$

由于比值小于1，级数收敛。几何级数公式为:

$\frac{a}{1-r}$

在哪里第一项，和是公比。代入这些值并求解。

$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

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例子问题3:几何级数

蚯蚓白天爬上墙，晚上慢慢滑下来。第一天，虫子爬上了一米的墙。第一天晚上，蠕虫会向下滑动三分之一米。第二天，蠕虫恢复了失去的前进距离的三分之一，并沿着第二晚恢复的距离的三分之一下滑。这种运动模式还在继续……

下面哪一个是表示蠕虫经过的距离的几何和12小时的运动周期?(假设白天和黑夜都是12小时)。

可能的答案:

$1+ \sum_{k=0}^{n} (\frac{-1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{n} (\frac{1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{-1}{3})^{k}$

$1+\sum_{k=1}^{n} (\frac{-1}{3})^{k}$

正确答案:

$\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{-1}{3})^{k}$

解释：

总和必须是交替的，在一个周期后，你应该有1m的蠕虫。两个周期后，蜗杆应该在2/3米。只有一个和是正确的。

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例子问题1:级数与函数

下列哪一项是正确的和的表示 $\sum_{k=4}^{\infty} \frac{10}{4^{k}}$ 在+……符号?

可能的答案:

$\frac{10}{4^{1}}+\frac{10}{4^{2}}+\frac{10}{4^{3}}+\frac{10}{4^{4}}$

$10\left(\frac{1}{4^{4}}+\frac{1}{4^{5}}+\frac{1}{4^{6}}+...\right)$

$10(1+\frac{10}{4^{4}}+\frac{10}{4^{16}}+\frac{10}{4^{64}}+...)$

$\frac{10}{4^{1}}+\frac{10}{4^{2}}+\frac{10}{4^{3}}+...$

正确答案:

$10\left(\frac{1}{4^{4}}+\frac{1}{4^{5}}+\frac{1}{4^{6}}+...\right)$

解释：

写出前几项并提出10，我们就能得到+…符号。

k=4时第一项的和是 $\frac{10}{4^4}$ ．

k=5时的项是 $\frac{10}{4^5}$ ．

k=6时的项是 $\frac{10}{4^6}$ ．

创建我们得到的和，

$\frac{10}{4^4}+\frac{10}{4^5}+\frac{10}{4^6}+...=10\left(\frac{1}{4^4}+\frac{1}{4^5}+\frac{1}{4^6}+... \right )$

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例子问题2:级数与函数

确定级数是否收敛的一种方法是将其与相关的反常积分进行比较。

下列哪一项是这个级数收敛的最正确的证明 $\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^{3/2}}$ ?

可能的答案:

$$Since$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx$ $$converges and $0\leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx $ then the sum $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ must converge.$

$$Since$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx$ $$converges and $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ then the sum $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ must converge.$

$$Since$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx$ $$converges and $ 0\leq \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx \leq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ then the sum $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ must converge.$

$$Since$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx$ $$converges and $0\leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ then the sum $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ must converge.$

正确答案:

解释：

根据直接比较检验的精神，我们可以将收敛的反常积分与无穷和进行比较，通过将和解释为右手黎曼和，使得和小于收敛的积分。请注意，你可以用任意一种方式来描述和，在一种情况下你可以得到关于它的收敛性或散度的信息，而在另一种情况下你什么都不能说。我们要确保我们断言和和和积分都是正的，作为比较的一个条件。

根据比较检验的定义

考虑到 $a_k\leq b_k$ 在哪里 a_k, b_k>0 ．

如果 $\sum b_k$ 收敛,然后 $\sum a_k$ 同样是收敛的。

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例子问题1:级数与函数

对什么值求和 $\sum_{k=4}^{\infty}\frac{10}{4^{k}}$ 收敛吗?

可能的答案:

$\frac{10}{3\cdot4^{3}}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{1}{.75}$

正确答案:

$\frac{10}{3\cdot4^{3}}$

解释：

这个级数的第一项是 $\frac{10}{4^{4}}$ ，公比为 $\frac{1}{4}$ ，所以我们可以把级数写成这种形式 $\sum_{k=0}^{\infty} ar^{k}$ 用这个公式 $\frac{a}{1-r}$ 得到正确的答案。

$=\frac{\frac{10}{4^4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{10}{4^4}}{\frac{3}{4}}=\frac{10}{4^4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{10}{4^3\cdot 3}$

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例子问题1:微积分级数

考虑到 $\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}$ 收敛，你能说什么呢 $\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}$ 在哪里 $b_{k} = \frac{a_{k}}{2}$ 而且 $a_{k},b_{k}\geq0$ ．

可能的答案:

和是零。

和必须收敛。

和必须发散。

信息不够。

正确答案:

和必须收敛。

解释：

通过直接比较检验，和必须收敛。所有的项都是正的和 $b_{k}$ 小于 $a_{k}$ 对于所有k，因此根据定义，和必须收敛。

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例5:级数与函数

下面哪个选项是蠕虫在第二晚之后所走的距离的正确表达?

可能的答案:

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}$

$1-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}$

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}$

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$

正确答案:

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}$

解释：

这只是蠕虫每天行走和下落距离的有限总和。

第一天，蠕虫前进了1米。

一夜之间，他瘦了三分之一米。这可以用数学术语解释为 $-\frac{1}{3}$ ．

他每天都保持这个比例的变化。

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例子问题6:级数与函数

如果这条虫子一直这样下去，它最终会飞到多高的地方呢?

可能的答案:

$\frac{4}{3}m$

$\frac{3}{4}m$

正确答案:

$\frac{3}{4}m$

解释：

这是一个几何级数 a=1 而且 $r=-\frac{1}{3}$ 所以将收敛为:

$\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1--\frac{1}{3}}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

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示例问题7:级数与函数

哪个是正确的麦克劳林级数表示 $f(x)=e^{2x}$ ?

可能的答案:

f(x)=1+2x+4x^2+8x^3+...

$f(x)=2x-\frac{8x^3}{3!}+\frac{32x^5}{5!}+...$

$f(x)=1-\frac{4x^2}{2!}+\frac{16x^4}{4!}+...$

$f(x)=1+2x+\frac{4x^2}{2!}+\frac{8x^3}{3!}+...$

正确答案:

$f(x)=1+2x+\frac{4x^2}{2!}+\frac{8x^3}{3!}+...$

解释：

麦克劳林级数的一般形式 e^x 是

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$

求的级数表示 $f(x)=e^{2x}$ ，简单代入代替在这个系列中 e^x ．

$e^{2x}=1+2x+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}+...$

$=1+2x+\frac{4x^2}{2!}+\frac{8x^3}{3!}+...$

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