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微积分2:级数与函数

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例子问题

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问题1:常数级数

考虑: $\sum_{n=0}^{\infty} \left (\frac{\sqrt 2}{2}\right )^n$ ．级数是收敛的还是发散的?如果收敛，它会收敛到哪里?

可能的答案:

$\sqrt{2}$

$2-\sqrt{2}$

$2+\sqrt2$

Diverge

$\sqrt{2}-2$

正确答案:

$2+\sqrt2$

解释：

这是一个等比级数。使用下面的公式，其中这个级数的第一项是什么是必须小于1的比值。如果大于1，级数发散。

$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{\sqrt2}{2}}= \frac{1}{\frac{2-\sqrt2}{2}} = \frac{2}{2-\sqrt2}$

使分母合理化。

$\frac{2}{2-\sqrt2} \cdot \frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2} = \frac{2(2+\sqrt2)}{4-2}= 2+\sqrt2$

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问题2:常数级数

考虑下面的总结: $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$ ．它是收敛的还是发散的?如果它收敛，它接近于哪里?

可能的答案:

Diverges

1.33

1.35

$\frac{4}{3}$

$\frac{7}{4}$

正确答案:

$\frac{4}{3}$

解释：

这个问题可以用求和符号重新转换，可以看出这是几何级数。

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...=\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \frac{1}{4} \right )^n$

由于比值小于1，这个级数收敛。几何级数的公式为:

$\frac{a}{1-r}$

在哪里是第一项，和是公比。代入这些值求解。

$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

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问题3:常数级数

虫子白天爬上墙，晚上慢慢地往下滑。第一天，虫子爬了一米高的墙。第一个晚上，虫子滑下三分之一米。第二天，蠕虫恢复了失去的三分之一的进度，并在第二天晚上滑下了三分之一的距离。这种运动模式还在继续……

下列哪项是几何和，表示蠕虫走过的距离12小时的运动周期?(假设白天和黑夜都是12小时的周期)。

可能的答案:

$1+\sum_{k=1}^{n} (\frac{-1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{-1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{n} (\frac{1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{k}$

$1+ \sum_{k=0}^{n} (\frac{-1}{3})^{k}$

正确答案:

$\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{-1}{3})^{k}$

解释：

和必须是交替的，在一个周期后，你应该得到1m的蠕虫。两个周期后，蠕虫应在2/3m处。只有一个和是正确的。

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问题1:微积分中的级数

下面哪个是和的正确表示 $\sum_{k=4}^{\infty} \frac{10}{4^{k}}$ 在+……符号?

可能的答案:

$\frac{10}{4^{1}}+\frac{10}{4^{2}}+\frac{10}{4^{3}}+\frac{10}{4^{4}}$

$10(1+\frac{10}{4^{4}}+\frac{10}{4^{16}}+\frac{10}{4^{64}}+...)$

$\frac{10}{4^{1}}+\frac{10}{4^{2}}+\frac{10}{4^{3}}+...$

$10\left(\frac{1}{4^{4}}+\frac{1}{4^{5}}+\frac{1}{4^{6}}+...\right)$

正确答案:

$10\left(\frac{1}{4^{4}}+\frac{1}{4^{5}}+\frac{1}{4^{6}}+...\right)$

解释：

通过写出前几项并因式分解10，我们可以得到+…符号。

k=4时第一项的和是 $\frac{10}{4^4}$ ．

k=5时的项是 $\frac{10}{4^5}$ ．

k=6时的项是 $\frac{10}{4^6}$ ．

创建我们得到的和，

$\frac{10}{4^4}+\frac{10}{4^5}+\frac{10}{4^6}+...=10\left(\frac{1}{4^4}+\frac{1}{4^5}+\frac{1}{4^6}+... \right )$

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问题2:微积分中的级数

确定一个级数是否收敛的一种方法是将它与相关的反常积分进行比较。

下面哪一个是最正确的收敛性证明 $\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^{3/2}}$ ？

可能的答案:

$$Since$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx$ $$converges and $ 0\leq \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx \leq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ then the sum $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ must converge.$

$$Since$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx$ $$converges and $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ then the sum $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ must converge.$

$$Since$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx$ $$converges and $0\leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ then the sum $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ must converge.$

$$Since$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx$ $$converges and $0\leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}dx $ then the sum $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3/2}} $ must converge.$

正确答案:

解释：

根据直接比较判别法的精神，我们可以将收敛的反常积分与无穷和进行比较，通过将和解释为右手黎曼和，使得和小于收敛的积分。注意你可以用两种方式来描述这个和，在一种情况下你可以得到关于它的收敛性或发散性的信息而在另一种情况下你什么都不能说。我们要确保我们断言和和和积分都是正的正确性，作为进行比较的条件。

通过比较检验的定义

考虑到 $a_k\leq b_k$ 在哪里 a_k, b_k>0 ．

如果 $\sum b_k$ 收敛,然后 $\sum a_k$ 同样是收敛的。

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问题3:微积分中的级数

和的值是多少 $\sum_{k=4}^{\infty}\frac{10}{4^{k}}$ 收敛吗?

可能的答案:

$\frac{1}{.75}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{10}{3\cdot4^{3}}$

$\frac{4}{3}$

正确答案:

$\frac{10}{3\cdot4^{3}}$

解释：

这个级数的第一项是 $\frac{10}{4^{4}}$ ，公比为 $\frac{1}{4}$ 我们可以把这个级数写成这个形式 $\sum_{k=0}^{\infty} ar^{k}$ 然后用公式 $\frac{a}{1-r}$ 得出正确的答案。

$=\frac{\frac{10}{4^4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{10}{4^4}}{\frac{3}{4}}=\frac{10}{4^4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{10}{4^3\cdot 3}$

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问题4:微积分中的级数

考虑到 $\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}$ 收敛，你能说什么呢 $\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}$ 在哪里 $b_{k} = \frac{a_{k}}{2}$ 和 $a_{k},b_{k}\geq0$ ．

可能的答案:

和是零。

和必须收敛。

和一定是发散的。

没有足够的信息。

正确答案:

和必须收敛。

解释：

通过直接比较检验，和必须收敛。所有项都是正的 $b_{k}$ 小于 $a_{k}$ 对于所有k，因此根据定义和必须收敛。

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问题5:微积分中的级数

下面哪个选项是虫在第二个晚上之后所走的距离的正确表达?

可能的答案:

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}$

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$

$1-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}$

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}$

正确答案:

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}$

解释：

这只是虫子每天飞行和坠落距离的有限总和。

第一天，蠕虫移动了1米。

一夜之间，他损失了三分之一米。这可以翻译成数学术语为 $-\frac{1}{3}$ ．

他每天都按照这个比例进行下去。

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问题6:微积分中的级数

如果这条虫子一直爬下去，它最终会飞到离地面多高的地方?

可能的答案:

$\frac{3}{4}m$

$\frac{4}{3}m$

正确答案:

$\frac{3}{4}m$

解释：

这是一个带an的等比级数 a=1 和 $r=-\frac{1}{3}$ 所以会收敛为:

$\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1--\frac{1}{3}}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

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问题7:微积分中的级数

哪个是正确的麦克劳林级数表示 $f(x)=e^{2x}$ ？

可能的答案:

f(x)=1+2x+4x^2+8x^3+...

$f(x)=1-\frac{4x^2}{2!}+\frac{16x^4}{4!}+...$

$f(x)=1+2x+\frac{4x^2}{2!}+\frac{8x^3}{3!}+...$

$f(x)=2x-\frac{8x^3}{3!}+\frac{32x^5}{5!}+...$

正确答案:

$f(x)=1+2x+\frac{4x^2}{2!}+\frac{8x^3}{3!}+...$

解释：

麦克劳林级数的一般形式是 e^x 是

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$

求它的级数表示 $f(x)=e^{2x}$ ，简单替代代替在这个系列中 e^x ．

$e^{2x}=1+2x+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}+...$

$=1+2x+\frac{4x^2}{2!}+\frac{8x^3}{3!}+...$

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