你可能已经认识到这是幂级数表示．自对所有人都有明确的定义，收敛半径为．

如果我们想用收敛判别法来求收敛半径，我们可以用比值判别法。我们有,

因为这个极限等于不管价值如何，比值检验表示当上述极限小于时级数的绝对收敛性，收敛所有．因此收敛半径为．

这个问题不是问在任何给定的点上哪个函数最大，而是问哪个函数增长最快。对于这个问题，我们需要查看所有的项，并确定哪个函数有主导项。在这种情况下是主导项，因此它增长最快。

把cos的正确定义写成幂级数。

取代与这个词．

正确答案是:

对于每一个幂级数，你必须首先使用比率判别法。

的系列．

使用比率测试

．

取消一些事情，拿着超出极限(因为你只取n趋于无穷时的极限)得到以下结果

，变成x(因为极限是1)。

因为比值判别法表明，级数只有在x的绝对值小于或等于1时才能收敛，这意味着x在-1和1之间。所以收敛半径是1。

回想一下泰勒级数近似是由

．

在我们的例子中,

最后的和是这样的

．

我们可以用麦克劳林级数展开，

并对其进行修改以适应当前函数．

首先,我们用在．这样我们就得到，

．

剩下的任务是得到在函数前面。我们只需要在上面的方程两边乘以．

这样做，我们得到，

．

麦克劳林级数是,

．

注:也可以尝试使用麦克劳林级数公式直接计算级数。然而,计算对于这个函数这是一项艰巨的任务。因此，解决这些问题最简单的方法是记住特定函数的麦克劳林级数，然后使用代换和乘法技巧来构建所讨论的函数。我建议记住下面的麦克劳林系列:

还有一些是有用的，但这些是最常用的教室和考试设置。

为了找到函数的收敛幂级数表示，我们可以对收敛到有限值的无穷几何级数使用以下定理:

_________________________________________________________

为这样

________________________________________________________

第一个因素的功能，使其中一个因素是可比性的形式．

现在我们可以用这个定理来写作为收敛几何级数的因子。在这里我们的“”只是．同时,．

这个级数我们要推导一个幂级数它收敛于这个因子．还要注意，我们不必“展示”这一点应用这个定理。我们把它写成一个无穷级数，然后声明是幂级数表示有效的约束。换句话说，这不是一个我们需要验证或检查的假设。

利用该定理求一个收敛无穷级数，在这种情况下有效，我们可以将因数写为:

现在让我们回到另一个因素，，然后把它拉进求和。

为了找出我们得到的幂级数收敛的地方，我们只需要应用几何级数收敛的条件．即使几何级数不是我们得到的函数的实际幂级数，它仍然是我们基于幂级数表示的级数。我们所做的只是将函数相乘和中的每一项。因此收敛区间，也就是其中原始函数收敛于幂级数表示-必须满足

这个等价于区间．注意，区间在和．

这是一个不定积分，所以我们可以消去答案而不用加C。

首先，我们需要找到sin(x)的幂级数表示

．

然后代入得到

然后对一般项积分．

就变成了来得到正确答案，记住+C。