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微积分2:麦克劳林级数

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例子问题

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例子问题1:麦克劳林级数

假设 $\small f(x)=\cos x^3$ ．计算 $\small f^{(48)}(0)$ ．

可能的答案:

$\small 1$

$\small \frac{48!}{16!}$

$\small \frac{48!}{12!}$

正确答案:

$\small \frac{48!}{16!}$

解释：

我们求它的幂级数 $\small \cos x^3$ 集中在 $\small x=0$ 找到 $\small f^{(48)}(0)$ ．我们有

$\small \small \small \small \cos x^3= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(x^3)^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{6n}}{(2n)!}=1-\frac{x^6}{2!}+\frac{x^{12}}{4!}-...$

这个级数比表达式更容易求导 $\small \cos x^3$ ．我们必须着眼于期限 $\small x^{48}$ ，这是微分48次后剩下的唯一常数项。这是唯一重要的项，因为当我们代入 $\small x=0$ ，所有的非常数项都是零。所以我们必须

$\small \small (\cos x^3)^{(48)}|_{x=0}= \left( \frac{x^{48}}{16!}\right )^{(48)}|_{x=0}=\frac{48!}{16!}$

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例子问题1:麦克劳林级数

下面这个无穷级数的值是多少?

$\small \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{3^{2n+1}(2n+1)!}$

可能的答案:

$\small \arctan{\pi/3}$

$\small \frac{1}{2}$

$\small \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\small \pi/4$

正确答案:

$\small \frac{\sqrt{3}}{2}$

解释：

我们可以把这个级数看成 $\small \sin(x)$ 因为幂级数是

$\small \sin x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

用值 $\small \frac{\pi}{3}$ 插入 $\small x$ 自

$\small \small \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{3^{2n+1}(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\pi}{3} \right )^{2n+1}$ ．

然后我们有

$\small \small \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{3^{2n+1}(2n+1)!}=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

报告错误

例子问题3:麦克劳林级数

下面这个无穷级数的值是多少?

$\small \small \small \sum_{n=0}^\infty \frac{1+(-1)^n}{n!}$

可能的答案:

无穷级数是发散的。

$\small e+e^{-1}$

$\small e+e^{1/2}$

$\small e^2+e^{-2}$

$\small \frac{1}{2}(e+e^{-1})$

正确答案:

$\small e+e^{-1}$

解释：

无限级数可以很容易地通过拆分分子的两个分量来计算:

$\small \small \small \small \sum_{n=0}^\infty \frac{1+(-1)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}$

现在我们回顾一下指数函数的麦克劳林级数 $\small e^x$ ，即

$\small e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

哪个对所有人都是收敛的 $\small x$ ．我们可以看到这两个无穷级数是 $\small e^x$ 与 $\small x=1,-1$ ,分别。所以我们有

$\small \small \small \small \small \sum_{n=0}^\infty \frac{1+(-1)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}=e^1+e^{-1}$

报告错误

问题4:麦克劳林级数

求出这个无穷级数的值。

$\small \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\pi^{4n+3}(-1)^n}{(2n+1)}$

可能的答案:

$\small -\pi\cos \pi^2$

$\small \pi \cos \pi^4$

$\small \pi \sin \pi^2$

$\small \cos \pi^3$

级数不收敛。

正确答案:

$\small \pi \sin \pi^2$

解释：

我们可以求级数的值

$\small \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\pi^{4n+3}(-1)^n}{(2n+1)}$

通过将其识别为已知函数的幂级数并代入一个值 $\small x$ ．特别地，它看起来类似于 $\small \sin x$ ：

$\small \sin x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

在对级数进行运算之后，我们得到

$\small \small \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\pi^{4n+3}(-1)^n}{(2n+1)}=\pi\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\pi^{4n+2}(-1)^n}{(2n+1)}=\pi \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\pi^2)^{2n+1}(-1)^n}{(2n+1)}$ ．

现在可以求值了 $\small \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\pi^2)^{2n+1}(-1)^n}{(2n+1)}$ ，即 $\small \sin \pi^2$ ．

所以无穷级数是有值的

$\small \small \small \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\pi^{4n+3}(-1)^n}{(2n+1)}=\pi \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\pi^2)^{2n+1}(-1)^n}{(2n+1)}=\pi \sin \pi^2$ ．

报告错误

例5:麦克劳林级数

求下列无穷级数的值:

$\small \sum_{n=0}^\infty \frac{\pi^{2n+1}(-1)^n}{6^{2n+1}(2n+1)!}$

可能的答案:

$\small \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\small \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\small -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\small \frac{1}{2}$

$\small -\frac{1}{2}$

正确答案:

$\small \frac{1}{2}$

解释：

完成以下操作后:

$\small \small \sum_{n=0}^\infty \frac{\pi^{2n+1}(-1)^n}{6^{2n+1}(2n+1)!}=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{\pi}{6} \right )^{2n+1}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$

我们可以看到这是幂级数

$\small \sin x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 与 $\small \small x=\frac{\pi}{6}$ 插入。

所以我们有

$\small \small \small \sum_{n=0}^\infty \frac{\pi^{2n+1}(-1)^n}{6^{2n+1}(2n+1)!}=\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$

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例子问题6:麦克劳林级数

求下列级数的值。

$\small \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k+(-1)^k}{k!}$

可能的答案:

$\small e^{-2}+e^{-1}$

$\small e^2-e^{-1}$

$\small e^2+e^{-1}$

发散。

$\small e^{1/2}-e^{-1}$

正确答案:

$\small e^2+e^{-1}$

解释：

我们可以把总和分开来得到

$\small \small \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k+(-1)^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{k!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}$ ．

我们知道的幂级数 $\small e^x$ 是

$\small \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

每一个和，

$\small \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{k!}$

而且

$\small \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}$

仅仅是 $\small e^{x}$ 与 $\small x=2,-1$ 分别插上。

因此,

$\small \small \small \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k+(-1)^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{k!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}=e^2+e^{-1}$ ．

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例子问题1:麦克劳林级数

求出这个无穷级数的值。

$\small \sum_{n=1}^\infty \frac{(\ln 5)^n}{n!}$

可能的答案:

无穷级数不收敛。

$\small \ln 5$

$\small 5$

$\small 4$

$\small \sqrt{5}$

正确答案:

$\small 4$

解释：

该系列

$\small \sum_{n=1}^\infty \frac{(\ln 5)^n}{n!}$ 看起来类似于 $\small e^x$ ，即 $\small e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

但是我们要化简的级数是从 $\small n=1$ ，所以我们可以通过添加a来解决这个问题 $\small 1$ 然后减去a $\small 1$ ，使值保持不变，即，

$\small \small \sum_{n=1}^\infty \frac{(\ln 5)^n}{n!}=-1+1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(\ln 5)^n}{n!}=-1+\sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln 5)^n}{n!}$ ．

现在我们有了 $\small e^x$ 与 $\small x=\ln 5$ ，这让我们 $\small e^{\ln 5}=5$ ．

然后我们有:

$\small \small \sum_{n=1}^\infty \frac{(\ln 5)^n}{n!}=-1+\sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln 5)^n}{n!}=-1+5=4$

报告错误

例8:麦克劳林级数

写出以下函数的麦克劳林级数的前两项:

f(x)=x^3+2x^2+1

可能的答案:

0+1

1+0

0-1

0+0

正确答案:

1+0

解释：

一个函数的麦克劳林级数就是一个函数的泰勒级数，只是关于x=0(所以公式中a=0):

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{n}(a)(x-a)^{n}}{n!}$

为了写出前两项(n=0和n=1)，我们必须找到函数的一阶导数(因为第零阶导数就是函数本身):

f'(x)=3x^2+4x

用下面的规则求导数:

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

接下来，使用一般形式，将n=0代入第一项，n=1代入第二项:

$\frac{(0 + 0+1)(x)^0}{0!}+\frac{(0+0)(x^1)}{1!}=1+0$

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问题9:麦克劳林级数

求函数的麦克劳林级数:

$\frac{1}{e^x}$

可能的答案:

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}$

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{(2n)!}$

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!\:ln(n)}$

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\:ln(n)$

正确答案:

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}$

解释：

写出由函数f生成的麦克劳林级数。麦克劳林级数的中心为 a=0 泰勒级数。

$\sum_{b=0}^{\infty}\frac{f^b(a=0)}{b!}x^b=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...$

求函数及其导数 $f(x)=\frac{1}{e^x}$ 在 x=0 ．

$f(x=0)=e^{-x}=e^0=1$

$f'(x=0)= -e^{-x}= -\frac{1}{e^0}= -1$

$f''(x=0)=e^{-x}=e^0=1$

将这些值代入幂级数。序列模式可以看作是交替递增的顺序。

$1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}... =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}$

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例子问题10:麦克劳林级数

求下列函数的麦克劳林级数的前三项:

$f(x)=\cos(x)+x^2$

可能的答案:

$1+0+\frac{x^2}{4}$

1+0

$0+0+\frac{1}{2}$

0+0+0

正确答案:

$1+0+\frac{x^2}{4}$

解释：

函数的麦克劳林级数就是关于a=0的函数的泰勒级数:

$\sum_{n=0}^{\infty }f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}$

首先，我们可以找到函数的零阶、一阶和二阶导数(n= 0,1和2是前三项)。

f^0=cos(0)+0^2=1

f^1=-sin(0)+2(0)=0

f^2=-cos(0)+2=1

将这些值代入公式，我们得到如下结果。

$\sum_{n=0}^{\infty }f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}$

$f^0(0)+f^1(0)\frac{(x-0)^1}{1!}+f^2(0)\frac{(x-0)^2}{2!}$

$1+0+\frac{x^2}{4}$

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