例子问题
问题1:曲线下面积
求曲线下的面积从来.
曲线f(x)下两个x值之间的面积对应于积分
.
在这种情况下,,根据微积分基本定理,我们可以发现……
评估从来
问题2:曲线下面积
求两者之间的面积和,这样和
求两条曲线之间面积的第一步是使它们相等,并求出它们的交点。
下一步是找出区间内哪条曲线“在顶部”,哪条曲线“在底部”.我们发现在顶部和在底部。
现在,为了求出两条曲线之间的面积,我们从来上面的曲线减去下面的曲线。
评估从来
问题1:曲线下面积
求曲线下的总面积从
f(x)在区间[0,5]上的定积分就是曲线下的面积。
代换使这个积分更容易求值。让.然后.我们也可以改变积分的极限用u表示,当x=5时,.当x = 0时,.做这些替换,积分变成
问题4:曲线下面积
曲线下的面积是多少在区间内?
曲线下的面积在区间内是.
在这个例子中,这导致了定积分
.
换元使这个函数的不定积分更明显。
让
.
我们也可以把积分的极限转换成简化评估。当,当.
做这些替换的结果是
.
回想一下,所以求积分的结果是
问题5:曲线下面积
求以下不定积分:
为了求不定积分,我们先把分母因式分解。
现在我们用部分分式分解把它化成我们知道如何求不定积分的形式。
现在我们需要求出A和b的值,首先写出方程。
现在我们可以得到方程组来求出A和B。
由方程1,我们得到
现在我们可以把它代入方程2。
现在我们把B代回方程1。
现在我们可以把A和B的值代入问题中。
现在我们可以简单地求不定积分。
问题6:曲线下面积
评估:
为了求积分,我们使用幂逆定律。
记住幂反比定律是
.
我们把这个应用到我们的问题中。
从这里,我们代入边界,从上界函数值中减去下界函数值。
问题7:曲线下面积
求出函数曲线下的面积之间的和.
要求曲线下的面积意味着你要对给定的函数做积分。积分限是已知的。积分是这样的:.
当积分时,你得到
评估在和.
在表达式的计算结果为而在它的值为.
这两项相减得到最后的答案是.
问题8:曲线下面积
求曲线下的面积
.
对于这个特殊的函数,我们需要进行“u替换”。
在我们的例子中
这将使.
现在我们把这些代入积分得到下面的式子。
如果
然后我们用幂次法则进行积分,
现在把原来的变量代回去,然后减去函数在边界处的值。
问题9:曲线下面积
求下列函数曲线下的面积来:
为了求出曲线下的面积,我们必须在给定的边界上积分:
要积分,我们必须做以下替换:
导数是用下面的规则求出来的:
现在,重写积分,把积分限换成u的形式
注意,在重写的过程中,上界变成了-1下界变成了1,但是从u的导数中得到的负号让我们可以像上面看到的那样得到上界。
现在做定积分:
这个积分是用下面的规则求出来的:
定积分通过将上界代入得到的函数,将下界代入得到的函数,然后将两者相减,如上所示。
问题10:曲线下面积
求函数曲线下的面积
在间隔上
方单位
方单位
方单位
方单位
方单位
求出函数曲线下的面积在间隔上,我们求出定积分
因为这个问题中的函数在区间上总是正的,或者
在间隔上曲线下的面积可以用定积分求出来
重写函数的定积分是
用幂次反比法则
我们发现定积分是
根据微积分基本定理的推论,定积分等于
因此,该地区是方单位