回想一下，一个函数有一个临界点，它的一阶导数为零或无定义。

所以,鉴于，我们需要找到v'(t)

这个函数在什么地方等于零?t = 0。我们能找到其他人，但我们只需要一个。把t=0代入原方程求出点(0,0)在这里是一个鞍点。

当函数由增大变为减小时，将出现局部最大值。这意味着函数的导数将由正变为负。

第一步是求导。

找到临界点(当是或未定义)。

接下来，找出这两个值中的哪一个从积极到消极的变化。代入每个区域的值．

需要测试的地区是，,．

第一个区域中的值，例如，给出一个正数，第二个范围中的值给出一个负数，这意味着一定是最大值出现的点。

找到什么这个点的坐标，代入进入,而不是，得到．

为了求出豆袋达到其最大高度的时间，我们需要求出豆袋速度为零的时间。

我们可以通过在时间乘坐高度位置函数的衍生物来找到这一点：

设这个等于0，我们可以解出t:

要找到本地最大值，我们必须找到函数的导数等于0的位置。

已知函数的导数收益率使用幂次法则．我们看到导数不为零。

然而，我们已知一个闭区间，因此我们必须继续检查端点。通过绘制函数图，我们可以看到端点实际上是一个局部极大值。

求函数极值的第一步是求导并使其等于零:

要解方程的右边，我们需要找到它的根。我们可以使用二次公式：

或者看到这个等式是:

不管怎样，唯一的非负根是2。

要知道这是局部极小值还是极大值，我们要对方程求二阶导数，代入这个值2:

因为二阶导数是正的，我们知道这代表一个局部极小值。

第一次修改：

用乘法法则求导:

要找到局部极值，将其设为0…

...和solve for...

＊

*自从我们分开我们必须记住这一点这是一个有效的解决方案

因此，我们知道有两个潜在的局部极值:和．

通过代入，我们得到两个可能的局部极值:和．因此，我们知道斜率是正的和．这意味着不能成为当地的最大值，只留下作为一个可能的答案。

接下来，我们可以求出斜率在．它是:

这是负的，意思是斜率从正到负，使其成为局部最大值。

首先，我们需要找到函数的临界点．

这是多项式的导数，所以可以逐项运算。

这给了我们,

．

解通过因式分解，得到

．

这给了我们临界值0和．因为我们在区间上操作，我们确保我们的端点被包含并排除临界值在这个区间之外。现在我们知道最大值可能发生在或．当函数减小时，我们知道最大值出现在这个值是．

即使一阶导数()是在，没有最大值或最小值，因为函数两边都在增加（两边的导数都是正的）。但是，该函数正在改变其凹度（从负到正）．我们可以判断是因为第二个衍生物（)也在从负到正。空洞和渐近线是无关的。当二阶导数在某一点改变符号时我们称之为拐点。拐点是指改变函数凹度的点。

要找到图的临界点，首先必须对图的方程求导并使它等于零。要对这个方程求导，我们必须使用幂法则，

．

我们还必须记住，常数的衍生物是0.这个图表的等式的导数出现在．解当，你会发现．现在棘手的部分是找出这个点是局部最大值还是局部最小值。为了算出这个，我们要知道斜率是向这一点增加还是减小。记住，图像方程的导数给出了图像在任意点的斜率。

因此，当我们插入时对于斜率方程，我们发现斜率是正的。这意味着当图像离开时，斜率是增加的，这意味着这一点是局部最小值，我们代入进入斜率方程，发现斜率为负值，确认为局部最小值。这意味着在这个图上没有局部最大值。

因为局部极大值出现在，这告诉了我们两条信息：衍生物必须是零和点一定在这个函数的图像上。因此，我们必须解出以下两个方程:

．

从第一个方程我们得到或．

为了求导数，我们应用除法法则

．

解决，我们得到．代入for的表达式给予．