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微积分1:微分方程

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例子问题

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问题61:如何找到微分方程的解

求微分方程的解

$\frac{dy}{dx}=y\cos x$

带初始值 $y(\pi/2)=2$ ．

可能的答案:

$y(x) = 2e^{\sin x}$

$y(x) = 2e\cdot e^{\sin x}$

$y(x)=\frac{2}{e}e^{\sin x}$

$y(x)=e^{\sin x}$

正确答案:

$y(x)=\frac{2}{e}e^{\sin x}$

解释：

我们可以用分离变量的方法来解决这个问题:

$\frac{dy}{dx}=y\cos x$

$\frac{1}{y}dy = \cos x dx$

我们积分得到

$\int \frac{1}{y}dy = \int \cos x dx$

$\iff \ln y = \sin x+c$

$\iff e^{\ln y}=y=e^{\sin x+c}=e^{\sin x}e^c$

$\Rightarrow y(x)=e^{\sin x}e^c$

现在我们代入初始值 $y(\pi/2)=2$ 要得到具体的解:

$\small y(\pi/2)=2=e^{\sin \pi/2}e^c$

$\small \iff 2 = e^1e^c=e^{1+c}$

所以我们解出 $\small c$ 得到 $\small \small c=\ln 2-1$ ．代入这个式子 $\small c$ 成 $\small y(x)$ 得到

$\small y(x)=e^{\sin x}e^{\ln 2-1}$

这就变成了

$\small y(x)=\frac{2}{e}e^{\sin x}$

简化之后。

问题62:如何找到微分方程的解

求微分方程的通解

$\small \frac{dy}{dt}=yt^3$ ．

可能的答案:

$\small y=e^{\frac{t^4}{4}}e^c$

$\small \small \small y=e^{3t^2}+e^c$

$\small \small \small y=e^{\frac{t^4}{4}}+e^c$

$\small \small y=e^{3t^2}e^c$

正确答案:

$\small y=e^{\frac{t^4}{4}}e^c$

解释：

我们可以用分离变量来解微分方程

$\small \frac{dy}{dt}=yt^3$

我们有

$\small \frac{1}{y}dy=t^3dt$

$\small \small \int\frac{1}{y}dy=\int t^3dt$

$\small \small \implies \ln y=\frac{t^4}{4}+c$

$\small \small \small \iff e^{\ln y}=y=e^{\frac{t^4}{4}+c}=e^{\frac{t^4}{4}}e^{c}$

通解是 $\small y=e^{\frac{t^4}{4}}e^c$ ,或 $\small \small y=Ke^{\frac{t^4}{4}}$ 为 $\small K=e^c$ ．

问题63:如何找到微分方程的解

微分方程的解是什么

$\frac{df}{dx}=sec^3(x)tan(x)?$

可能的答案:

$f(x)=\frac{sec^3(x)}{3}+c$

$f(x)=\frac{sec^4(x)}{4}+c$

f(x)=3sec^3(x)tan^2(x)+sec^5(x)+c

$f(x)=\frac{sec^4(x)tan^2(x)}{8}+c$

正确答案:

$f(x)=\frac{sec^3(x)}{3}+c$

解释：

首先，方程两边都乘以dx

df=sec^3(x)tan(x)dx

其次，对方程两边积分

$\int df=\int sec^3(x)tan(x)dx$

对右边积分，可以用u替换。让u =秒(x)。然后du =秒(x) tan (x) dx。因此，我们可以将积分写成u的形式:

$\int df=\int u^2du$

然后对两边求不定积分

$f=\frac{u^3}{3}+c$

用sec(x)代替u求出用x表示的最终解。

$f(x)=\frac{sec^3(x)}{3}+c$

问题64:如何找到微分方程的解

求出可分离变量微分方程的解。

$\frac{dy}{dx}=xy+2y$

可能的答案:

$y=\frac{x^2}{2}+x+c$

$y=ln\left(\frac{x^2}{2}+x\right)+c$

$y=ce^{\frac{x^2}{2}+2x}$

$y=\frac{{}x^{2}y^{2}}{4}+y^2+c$

正确答案:

$y=ce^{\frac{x^2}{2}+2x}$

解释：

为了解出这个可分离变量微分方程，我们首先需要重写它使得左边完全用y表示而右边完全用x表示。

首先，把等式右边因式分解:

$\frac{dy}{dx}=xy+2y \rightarrow \ \frac{dy}{dx}=y(x+2)$

接下来，方程两边同时除以y，方程两边同时乘以dx，得到:

$\frac{dy}{y}=(x+2)dx$

对方程两边积分:

$\int\frac{dy}{y}=\int(x+2)dx$

$ln(y)=\frac{x^2}{2}+2x+c$

最后，对方程两边取幂，求出y:

$e^{ln(y)}=e^{\frac{x^2}{2}+2x+c}$

$y=e^{\frac{x^2}{2}+x+c}=e^{c}e^{\frac{x^2}{2}+2x}$

最后, e^c 是一个常数，所以把它写成c。

$y=ce^{\frac{x^2}{2}+2x}$

问题65:如何找到微分方程的解

求下列函数的导数:

$y=(3x+7)(4x-3)^{3}$

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=(12x-28)(4x-3)^2+3(4x-3)^3$

$\frac{dy}{dx}=(12x+28)(4x-3)^{2}+3(4x-3)^3$

$\frac{dy}{dx}=(36x+84)(4x-3)^{2}+3(4x-3)^{3}$

$\frac{dy}{dx}=(21x+28)+3(4x-3)^{3}$

$\frac{dy}{dx}=(9x+21)(4x-3)^{2}+3(4x-3)^{3}$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=(36x+84)(4x-3)^{2}+3(4x-3)^{3}$

解释：

导数的计算需要使用乘积法则和链式法则。

$y=(3x+7)(4x-3)^{3}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[(3x+7)(4x-3)^3]$

记住乘法法则的一个好方法是记住这句话:“一乘以第二的导数，加上第二乘以第一的导数。”如果这也没用，你可以把公式写出来

:

y = f(x)*g(x) f(x)和g(x)是可微函数

$\frac{dy}{dx}=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$

如你所见，上面的“说法”与公式相符。

在这种情况下:

f(x)=3x+7 , g(x)=(4x-3)^3

应用乘积法则:

$\frac{dy}{dx}=(3x+7)\frac{d}{dx}[(4x-3)^3]+(4x-3)^3\frac{d}{dx}[(3x+7)]$

计算的导数 (4x-3)^3 而且 (3x+7) ，简单应用链式法则:

:

y=(f(x))^a

$\frac{dy}{dx}=a*(f(x))^{a-1}*f'(x)$

在哪里一个是整数，f(x)是可微函数。

应用链式法则:

$\frac{dy}{dx}=(3x+7)[3(4x-3)^2(4)]+(4x-3)^3(3)$

简化表达式以匹配其中一个答案选项:

$\frac{dy}{dx}=(36x+84)(4x-3)^2+3(4x-3)^3$

问题66:如何找到微分方程的解

求关于的导数对于以下功能:

$y=\frac{3x^2-5}{(2x^2-7)^3}$

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-24x^3+18x}{(2x^2-7)^4}$

$\frac{12x^3-36x^2-102x}{(2x^2-7)^5}$

$\frac{12x^3-78x^2-60x}{(2x^2-7)^3}$

$\frac{24x^3+18x}{(2x-7)^4}$

$\frac{12x^3-36x^2+12x}{(2x^2-7)^5}$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-24x^3+18x}{(2x^2-7)^4}$

解释：

导数的计算需要使用除法法则和链式法则。

$y=\frac{3x^2-5}{(2x^2-7)^3}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left[\frac{3x^2-5}{(2x^2-7)^3}\right]$

记住除法法则的一个好方法是记住这句话:“底部乘以顶部的导数，减去顶部乘以底部的导数，再除以底部的平方。”如果这也没用，你可以把公式写出来

:

$y=\frac{f(x)}{g(x)}$

其中f(x)和g(x)是可微函数，其中g(x)不等于0!

$\frac{dy}{dx}=\frac{g(x)*f'(x)-f(x)*g'(x)}{(g(x))^2}$

如你所见，上面的“说法”与公式相符。

在这种情况下:

f(x)=3x^2-5 , g(x)=(2x^2-7)^3

应用除法法则:

$\frac{dy}{dx}=\frac{(2x^2-7)^3\frac{d}{dx}[3x^2-5]-(3x^2-5)\frac{d}{dx}[(2x^2-7)^3]}{((2x^2-7)^3)^2}$

计算的导数 3x^2-5 而且 (2x^2-7)^3 ，简单应用链式法则:

:

y=(f(x))^a

$\frac{dy}{dx}=a*(f(x))^{a-1}*f'(x)$

在哪里一个是整数，f(x)是可微函数。

应用链式法则:

$\frac{dy}{dx}=\frac{(2x^2-7)^3(6x)-(3x^2-5)[3(2x^2-7)^2(4x)]}{(2x^2-7)^6}$

我们可以通过提出公约数来进一步简化这个方程 (2x^2-7)^2 从分子开始。

$\frac{dy}{dx}=\frac{(2x^2-7)^2[6x(2x^2-7)-(3x^2-5)(12x)]}{(2x^2-7)^6}$

你会注意到可以用分母中的某些项约掉，得到:

$\frac{dy}{dx}=\frac{(6x)(2x^2-7)-(3x^2-5)(12x)}{(2x^2-7)^4}$

将这些项分布到分子中，并简化表达式，得到最终答案，它与其中一个答案选项匹配:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-24x^3+18x}{(2x^2-7)^4}$

问题67:如何找到微分方程的解

求下列函数的导数。

$f(x)=(3x^3+5x^2-7)^{^{10}}$

可能的答案:

$(90x^2-100x)(3x^3+5x^2-7)^{9}$

$(9x^2+10x)(3x^3+5x^2-7)^{9}$

$10(3x^3+5x^2-7)^{9}$

$(90x^2+100x)(3x^3+5x^2-7)^{9}$

$(9x^2+10x)(300x^3+50x^2-70)^{9}$

正确答案:

$(90x^2+100x)(3x^3+5x^2-7)^{9}$

解释：

$D_x[(3x^3+5x^2-7)^{10}]$ 求导数需要使用链式法则。

$D_x[(f(x))^a]=a*f(x)^{a-1}*f'(x)$ f(x)是一个可微函数一个整数形式。

从问题陈述中:

f(x)=3x^3+5x^2-7

导数计算:

f'(x)=9x^2+10x

应用链式法则:

$D_x[(3x^3+5x^2-7)^{10}]=10*(3x^3+5x^2-7)^{9}*(9x^2+10x)$

简化以匹配答案选项:

$(90x^2+100x)(3x^3+5x^2-7)^{9}$

问题68:如何找到微分方程的解

:

y=sin(x^2+2)cos(x-3)

找到 $\frac{dy}{dx}$ ：

可能的答案:

2xsin(x-3)cos(x^2+2)-cos(x-3)sin(x^2+2)

2xcos(x+3)cos(x^2+2)-sin(x+3)sin(x^2+2)

2xcos(x^2+2)-sin(x^2+2)

2xcos(x-3)cos(x^2+2)-sin(x-3)sin(x^2+2)

2xsin(x-3)sin(x^2+2)-cos(x-3)cos(x^2+2)

正确答案:

2xcos(x-3)cos(x^2+2)-sin(x-3)sin(x^2+2)

解释：

导数的计算需要使用乘积法则和链式法则。

y=sin(x^2+2)cos(x-3)

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[sin(x^2+2)cos(x-3)]$

记住乘法法则的一个好方法是记住这句话:“一乘以第二的导数，加上第二乘以第一的导数。”如果这也没用，你可以把公式写出来

:

y=f(x)*g(x) f(x)和g(x)是可微函数

如你所见，上面的“说法”与公式相符。

在这种情况下:

f(x)=sin(x^2+2) , g(x)=cos(x-3)

应用乘积法则:

$\frac{dy}{dx}=sin(x^2+2)\frac{d}{dx}[cos(x-3)]+cos(x-3)\frac{d}{dx}[sin(x^2+2)]$

计算的导数 cos(x-3) 而且 sin(x^2+2) ，简单应用链式法则:

:

y=sin(u)

$\frac{dy}{dx}=cos(u)\frac{du}{dx}$ ,在那里u函数是可微的吗

:

y=cos(u)

$\frac{dy}{dx}=-sin(u)\frac{du}{dx}$ ,在那里u函数是可微的吗

应用链式法则:

$\frac{dy}{dx}=sin(x^2+2)(-sin(x-3)(1))+cos(x-3)(cos(x^2+2)(2x))$

简化表达式以匹配其中一个答案选项:

$\frac{dy}{dx}=2xcos(x-3)cos(x^2+2)-sin(x-3)sin(x^2+2)$

问题69:如何找到微分方程的解

求下列函数关于x的导数:

$y=e^{sin(3x)}+(x^5-3x)^3$

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=3sin(3x)e^{sin(3x)-1}+(12x^4-9)(x^5-3x)^2$

$\frac{dy}{dx}=-3sin(3x)e^{sin(3x)-1}+(12x^4-9)(x^5-3x^2)^2$

$\frac{dy}{dx}=-3cos(3x)e^{sin(3x)}+(12x^4-9)(x^5-3x)^2$

$\frac{dy}{dx}=3cos(3x)e^{sin(3x)}+(15x^4-9)(x^5-3x)^2$

$\frac{dy}{dx}=3cos(3x)e^{sin(x)}+3(x^5-3x)^2$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=3cos(3x)e^{sin(3x)}+(15x^4-9)(x^5-3x)^2$

解释：

导数的计算需要使用链式法则。

$y=e^{sin(3x)}+(x^5-3x)^3$

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[e^{sin(3x)}+(x^5-3x)^3)]$

:

$y=e^{f(u)}$

$\frac{dy}{dx}=e^{f(u)}*f'(u)$

在这里 f(u)=sin(3x) 因此, f'(u)=3cos(3x)

:

y=(f(x))^a

$\frac{dy}{dx}=a*(f(x))^{a-1}*f'(x)$

应用这两条规则会得到:

$\frac{dy}{dx}=e^{sin(3x)}(3cos(3x))+3(x^5-3x)^2(5x^4-3)$

将这个方程简化，得到以下答案之一:

$\frac{dy}{dx}=3cos(3x)e^{sin(3x)}+(15x^4-9)(x^5-3x)^2$

示例问题70:如何找到微分方程的解

求解微分方程:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2sinx+cosx}{y}$

可能的答案:

y=4cosx-2sinx+c

$y=\sqrt{8cosx-4sinx+c}$

$y=\sqrt{2sinx-4cosx+c}$

$y=\sqrt{4cosx-2sinx+c}$

正确答案:

$y=\sqrt{2sinx-4cosx+c}$

解释：

这是一个可分离变量方程，也就是说要解出方程先分离，再积分。

第一步:将y分量放在方程的一边，x分量放在另一边。

ydy=(2sinx+cosx)dx

第二步:对方程两边积分。

$\int ydy= \int (2sinx+cosx)dx$

这就得到了以下结果:

$\frac{1}{2}y^{2}=-2cosx+sinx+c$

第三步:为了化简，我们可以解出y。

$y^{2}=2sinx-4cosx+c$

$y=\sqrt{2sinx-4cosx+c}$

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