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AP统计:如何找到离散随机变量的概率分布

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例子问题

例子问题1:随机变量

在一个星期的足球训练中，球员练习总任意球和有一个 $25\%$ 得分机会。他或她至少得分的概率是多少次?假设每个镜头都是独立的。

可能的答案:

0.036

0.18

0.018

0.06

0.072

正确答案:

0.036

解释：

这里有两个关键步骤。

首先，我们需要认识到这是一个二项分布 n = 50 而且 p = 0.25 ．

其次，我们需要意识到我们可以使用二项式的正态近似，因为 $np = 50\cdot 0.25 = 12.5$ 而且 $n(1 - p) = 50\cdot 0.75 = 37.5$ ，都大于5。

有了这个，我们可以计算a-score和它的-value，记住我们的均值将是 np = 12.5 标准差是 $\sqrt{np(1-p)}$ ，大约是 3.062 ．

$Z = \frac{18 - 12.5}{3.062} = 1.80$

$P(Z \geq 1.80) = 0.036$

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例子问题1:随机变量

假设你投了三支飞镖，有三分之一的机会射中靶心。每次投掷都相互独立。至少击中靶心一次的概率是多少?

可能的答案:

$\frac{19}{27}$

$\frac{17}{23}$

$\frac{8}{27}$

$\frac{1}{27}$

正确答案:

$\frac{19}{27}$

解释：

为了计算probb(至少一个靶心)，我们可以计算1减去互补概率P(没有靶心)。

所以P(至少有一个靶心)=1-P(没有靶心)

不被射中的几率是 $\left (\frac{2}{3}\right)^3$ ．

这意味着至少击中一个靶心的概率是

$1-\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{27}{27}-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$

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例子问题1:如何找到离散随机变量的概率分布

粒子向左移动的概率是1 / 6，向右移动的概率是5 / 6。每个运动都独立于其他运动。三次运动后，质点向右移动一个单位的概率是多少?

可能的答案:

$\small \left( \frac{5}{6} \right )^2\left(\frac{1}{6} \right )$

$\small 3\left( \frac{5}{6} \right )^2\left(\frac{1}{6} \right )$

$\small 3\left( \frac{1}{6} \right )^2\left(\frac{5}{6} \right )$

$\small \left( \frac{1}{6} \right )^2\left(\frac{5}{6} \right )$

正确答案:

$\small 3\left( \frac{5}{6} \right )^2\left(\frac{1}{6} \right )$

解释：

这个粒子可以做的运动包括:RRL, RLR, LRR。

得到RRL的几率是 $\small \left( \frac{5}{6} \right )^2\left(\frac{1}{6} \right )$ ．这也是得到这些动作的机会。

为了得到总概率，我们可以将各个事件的概率相加，因为所有事件都是互斥的。

因此，我们得到如下的解。

$\small 3\left( \frac{5}{6} \right )^2\left(\frac{1}{6} \right )$

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例子问题6:随机变量

如果你抛一个有偏差的硬币，它有 $\small \frac{2}{3}$ 正面和的概率 $\small \frac{1}{3}$ 如果是反面，直到得到正面，抛五次直到得到正面的概率是多少?

可能的答案:

$\small \left( \frac{1}{3} \right )^4\left( \frac{2}{3} \right )$

$\small \left( \frac{1}{3} \right )^5$

$\small \left( \frac{1}{3} \right )^4$

$\small \left( \frac{1}{3} \right )^5\left( \frac{2}{3} \right )$

正确答案:

$\small \left( \frac{1}{3} \right )^4\left( \frac{2}{3} \right )$

解释：

为了计算这个概率，我们需要计算得到4个反面和一个正面的概率。

每条尾巴都有一个问题。的 $\small \frac{1}{3}$ 一个正面是 $\small \frac{2}{3}$ 所以我们相乘 $\small \frac{1}{3}$ 4的次方(因为我们需要4个反面)by $\small \frac{2}{3}$ (适用于单头)。

所以概率是

$\small \left( \frac{1}{3} \right )^4\left( \frac{2}{3} \right )$ ．

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示例问题7:随机变量

下列哪个选项可以被认为是二项实验?

可能的答案:

掷25个骰子，找出脸上斑点数量的分布

预测用随机策略玩石头剪子布的连续十局游戏中，一个人获得六次胜利的概率

假设36%的人口是金发，预测公立大学大多数学生都是金发的概率

从一副牌中选择四张牌，试图得到相同的面(例如，都是a)

掷六个骰子，直到三个骰子显示数字2

正确答案:

预测用随机策略玩石头剪子布的连续十局游戏中，一个人获得六次胜利的概率

解释：

二项实验需要满足四个条件:

1)每次试验必须有两个结果。

2)每次试验必须是独立的。

3)所有试验必须相同。

4)结果保持不变的概率不应随每次试验而改变。

满足所有这四个条件的唯一选择(因此是一个二项实验)是石头剪刀布场景。

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例8:随机变量

下列哪个是离散随机变量?

可能的答案:

随机股票投资的回报率

一小时内通过大坝的水量

抛10次硬币出现正面的次数

任意毛虫的长度

正确答案:

抛10次硬币出现正面的次数

解释：

离散变量是一种只能取可数个值的变量。例如，一枚硬币在十次投掷中出现正面的次数只能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9或10。因此，可能的结果是可数的(在这个例子中是11)。这对于抛硬币来说是正确的，但对于毛毛虫的长度、水流或股票的回报率则不然。

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