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AP物理C电学:计算电势

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例子问题

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例子问题1:计算电势

质子沿直线运动的距离为。沿着这条路径，电场是均匀的，其值为 $2*10^7 \frac{V}{m}$ 。求运动产生的电位差。

质子的电荷是 $1.61*10^{-19}\text{C}$ 。

可能的答案:

1*10^8V

$1*10^{10}V$

1*10^7V

1*10^9V

正确答案:

1*10^8V

解释:

电位差由电压的变化决定

$V_a-V_b=\frac{W}{q}$

电场做的功等于电场的力和所移动的距离的乘积。电场力等于电荷和电场强度的乘积。

$\frac{W}{q}=\frac{Fd}{q}=\frac{qEd}{q}=Ed$

电荷抵消了，我们就能解出电位差了。

$\Delta V=Ed=(2*10^7\frac{V}{m})(5m)=1*10^8V$

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例子问题1:计算电势

对于有半径的电荷环以及总费用，势为 $V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\sqrt{x^2+a^2}}$ 。

求环产生的电场的表达式。

可能的答案:

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{(x^2+a^2)^{3/2}}}$

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qx}{(x^2+a^2)^{1/2}}}$

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{(x^2+a^2)^{1/2}}}$

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qx}{(x^2+a^2)^{3/2}}}$

正确答案:

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qx}{(x^2+a^2)^{3/2}}}$

解释:

我们知道 $E=-\frac{dV}{dx}$ 。

利用所给公式，我们可以求出环的电势表达式。

$E=-\frac{d}{dx}(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\sqrt{x^2+a^2}})$

求导数，然后化简。

$E=-(\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{(x^2+a^2)^{3/2}}*-\frac{1}{2}*2x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$

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例子问题1:计算电势

半径带电导体圆柱体外的电势每单位长度收费由下式给出。

$V=\frac{l}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{R}{r}$

距离上一点的电场是多少从圆柱体的表面?

可能的答案:

$\frac{l}{2\pi\epsilon_0r^3 }$

$\frac{lr}{2\pi \epsilon_0}$

$\frac{l}{2\pi\epsilon_0r}$

$\frac{l}{2\pi\epsilon_0r^2}$

正确答案:

$\frac{l}{2\pi\epsilon_0r}$

解释:

圆柱体外的径向电场可以用方程求出来 $E_r=-\frac{dV}{dr}$ 。

用题中给出的公式，我们可以展开这个方程。

$E_r=-\frac{dV}{dr}=-\frac{d}{dr}(\frac{l}{2\pi\epsilon_0}(lnR-lnr))$

现在，我们可以求导并化简。

$E_r=-\frac{1}{2\pi \epsilon_0}(\frac{1}{R}-\frac{1}{r})$

$E_r=-(-\frac{l}{2\pi\epsilon_0r})=\frac{l}{2\pi\epsilon_0r}$

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例子问题1:计算电势

质子沿直线运动的距离为。沿着这条路径，电场是均匀的，其值为 $2*10^7 \frac{V}{m}$ 。求出电场对质子做的功。

质子的电荷是 $1.61*10^{-19}\text{C}$ 。

可能的答案:

$6.44*10^{-11}J$

$3.22*10^{-11}J$

$0.8*10^{-11}J$

$1.61*10^{-11}J$

正确答案:

$1.61*10^{-11}J$

解释:

电场做的功是由粒子的电荷、电场强度和行进距离的乘积给出的。

W=qEd

我们被要求( $1.61*10^{-19}\text{C}$ )，距离()和场强( $2*10^7 \frac{V}{m}$ )，让我们可以计算功。

$W=(1.61*10^{-19}C)(2*10^{7}\frac{V}{m})(5m)$

$W=(3.22*10^{-12}\frac{J}{m})(5m)$

$W=1.61*10^{-11}J$

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问题11:电磁学考试

负电荷大小的负电荷 $9.0 \mu C$ 置于一个均匀的电场中 $3.0 * 10^4 \frac{N}{C}$ ，向上。如果电荷被移动 1.0m 向上，在这个过程中电场对电荷做了多少功?

可能的答案:

$-3.0 * 10^{-13} J$

$-3.3 * 10^{-6}J$

$2.7 * 10^{4}J$

$3.0 * 10^{-13} J$

$-2.7 * 10^{-4}J$

正确答案:

$-2.7 * 10^{-4}J$

解释:

例子问题1:计算电势

三个点电荷分布在原点周围，如图所示。

Ps0_threechargepotential

$\begin{matrix} &\text{Charge} & \text{Location}\\ Q_1& +3C&(-2cm,0) \\ Q_2&-5C &(4cm,0) \\ Q_3&+1C & (0,5cm) \end{matrix}$

计算在原点由于三个点电荷而产生的总电势。

$k=9*10^9\frac{Nm^2}{C^2}$

可能的答案:

$1.05*10^{12}V$

$2.65*10^{12}V$

$4.05*10^{11}V$

$3.41*10^{11}V$

正确答案:

$4.05*10^{11}V$

解释:

电势是一个标量，由方程给出:

$V = \frac{kq_{i}}{r_{i}}$

为了求出三种电荷在原点的总电势，将每一种电荷的电势相加。

$V_{total}= V_{1}+V_{2}+V_{3} = \frac{kQ_{1}}{r_{1}}+\frac{kQ_{2}}{r_{2}}+\frac{kQ_{3}}{r_{3}}$

$V_{total}=\frac{(9*10^9)(3C)}{0.02m}+\frac{(9*10^9)(-5C)}{0.04m}+\frac{(9*10^9)(1C)}{0.05m}$

$V_{total}=1.35*10^{12}V+(-1.125*10^{12}V)+1.8*10^{11}V$

$V_{total}=4.05*10^{11}V$

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例子问题1:计算电势

三个相同的点电荷 $q=1\mu C$ 放置，使它们形成一个等边三角形，如图所示。求等边三角形中心点(黑点)的电势，该点与等边三角形的距离相等， d=3mm ，远离三个电荷。

3 _charges

$k=8.99*10^9\frac{Nm^2}{C^2}$

可能的答案:

1.90*10^6V

8.99*10^3V

7.25*10^5V

8.99*10^6V

5.43*10^8V

正确答案:

8.99*10^6V

解释:

点电荷的电势是 $V=\frac{kq}{d}$ 。

知道这三个电荷都是相同的，并且知道我们计算电势的中心点与电荷的距离相等，我们可以将电势方程乘以3。

$V=3\frac{kq}{d}$

代入给定值并求解。

$V=3\frac{(8.99*10^9\ \frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2})(1* 10^{-6}\ \text{C})}{3*10^{-3}\ \text{m}}$

$V=8.99* 10^6\ \text{V}$

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例子问题1:计算电势

Ap物理潜在问题2 6 16 1

八个大小相等的点电荷位于一个边长的立方体的顶点上。计算立方体中心的电势。

可能的答案:

$\frac{\sqrt{3}Q}{6\pi\epsilon_0a}$

$\frac{2Q}{\pi\epsilon_0a\sqrt{3}}$

$\frac{8Q}{3\pi\epsilon_0a}$

$\frac{4Q}{\pi\epsilon_0a\sqrt{3}}$

$\frac{2\sqrt{2}Q}{\pi\epsilon_0a}$

正确答案:

$\frac{4Q}{\pi\epsilon_0a\sqrt{3}}$

解释:

根据勾股定理，每个电荷都是一个距离

$d = \sqrt{\left (\frac{a}{2} \right )^2 + \left (\frac{a}{2} \right )^2+\left (\frac{a}{2} \right )^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

从立方体的中心开始，所以势能是

$V=8\times\left (\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\left (\frac{\sqrt{3}}{2}a \right )} \right )$

$=\frac{4Q}{\pi\epsilon_0a\sqrt{3}}$

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例子问题1:计算电势

Ap物理数学潜在问题2 6 16 1 4

无穷大平面的电荷密度不均匀 $\sigma(r)=\frac{qa}{2\pi(r^2+a^2)^{3/2}}$ 。计算一段距离的电势在原点上面。

你可能希望使用积分:

$\int\frac{x}{(x^2+a^2)^2}dx=\frac{1}{2a^2}\left(\frac{x^2}{x^2+a^2} \right )+C$

可能的答案:

$\frac{q}{16\pi\epsilon_0a}$

$\frac{q}{2\pi\epsilon_0a}$

$\frac{q}{4\pi\epsilon_0a}$

$\frac{q}{8\pi\epsilon_0a}$

$\frac{q}{\pi\epsilon_0a}$

正确答案:

$\frac{q}{8\pi\epsilon_0a}$

解释:

在给定表面电荷密度的极坐标下， $\sigma(r)=\frac{qa}{2\pi(r^2+a^2)^{3/2}}$ 和面积元素 $rd\theta d\phi$ 。注意到一点到原点是一个距离 $\sqrt{r^2+a^2}$ 从兴趣点出发，我们计算势能的方法如下，对从来 $\infty$ 。

$V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty}\left (\frac{qa}{2\pi(r^2+a^2)^{3/2}} \right ) \frac{rdrd\theta}{\sqrt{r^2+a^2}}$

$=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} (2\pi) \left(\frac{qa}{2\pi} \right )\int_{0}^{\infty}\left (\frac{1}{(r^2+a^2)^{3/2}} \right ) \frac{rdr}{\sqrt{r^2+a^2}}$

$=\frac{qa}{4\pi\epsilon_0} \int_{0}^{\infty}\frac{r}{(r^2+a^2)^2} dr$

$=\frac{qa}{4\pi\epsilon_0} \left [\frac{1}{2a^2}\left (\frac{x^2}{x^2+a^2} \right ) \right ]_{0}^{\infty}$

$=\frac{q}{8\pi\epsilon_0a} (1-0)$ (限制)

$=\frac{q}{8\pi\epsilon_0a}$

备注:这就是电荷分布诱导在无限长的(接地的)金属片上，如果有负电荷被远远地抱着上面。

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示例问题21:电磁学考试

Ap物理数学潜在问题2 6 16 1 3

半径不均匀带电的半球形壳(如上所示)具有表面电荷密度 $\sigma(\theta)=b\cos^3\theta$ 。计算半球开口中心的电位(原点)。

可能的答案:

$\frac{3Rb}{8\epsilon_0}$

$\frac{Rb}{15\epsilon_0}$

$\frac{Rb}{3\epsilon_0}$

$\frac{Rb}{8\epsilon_0}$

$\frac{Rb}{2\epsilon_0}$

正确答案:

$\frac{Rb}{8\epsilon_0}$

解释:

使用给定表面电荷密度的球坐标 $\sigma(\theta)=b\cos^3\theta$ ，面积元 $R^2\sin\theta d\theta d\phi$ 。半球面上的每一点都是一段距离从原点开始，我们计算势能如下，注意积分的极限 $\theta$ 范围从来 $\pi/2$ 。

$V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}(b\cos^3\theta)\left (\frac{1}{R} \right )R^2\sin\theta d\theta d\phi$

$=\frac{Rb}{4\pi\epsilon_0} (2\pi) \int_{0}^{\pi/2}\cos^3\theta\sin\theta d\theta$

$=\frac{Rb}{2\epsilon_0} \left[\frac{-\cos^4\theta}{4} \right]_{0}^{\pi/2}$

$=\frac{Rb}{8\epsilon_0}$

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