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AP物理1:角动量

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例子问题

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例子问题1:角动量

在孤立系统中，旋转物体的转动惯量减半。物体的角速度发生了什么变化?

可能的答案:

它是四分之一的。

它是原来的四倍。

它减半了。

它是双倍的。

它保持不变。

正确答案:

它是双倍的。

解释：

在孤立系统中，没有净扭矩。如果系统上没有净力矩，那么系统的总角动量保持不变。旋转物体的角动量等于物体的转动惯量乘以物体的角速度。

$L=I\omega$

是角动量的符号，是转动惯量，和 $\omega$ 是角速度。

因此，如果转动惯量，，减半，那么对于角动量，，保持不变，角速度， $\omega$ ，必须加倍。这是因为 $\frac{1}{2}\cdot2=1$ 即乘法恒等式。任何数乘以1都不变。所以最终的角速度是原来的两倍。

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例子问题1:角动量

我开始用10牛顿-米的力矩推旋转木马。它的转动惯量是 $100 kg \cdot m^2$ ．假设它从静止开始3秒后的转速是多少?

可能的答案:

$\omega = 3s^{-1}$

$\omega = 0.3s$

$\omega = 30s$

$\omega = 30s^{-1}$

$\omega = 0.3s^{-1}$

正确答案:

$\omega = 0.3s^{-1}$

解释：

旋转木马在3秒后的角力矩很简单

$L=\tau t=(10 N \cdot m)(3s)=30 \frac{kg \cdot m^2}{s}$

角动量也由

$L=I\omega=(100 kg \cdot m^2)\omega$

代入30给了我们

$\omega = 0.3s^{-1}$

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例子问题1:角动量

卫星每分钟旋转一次。它的转动惯量是 $10,000 kg \cdot m^2$ ．宇航员艾琳将卫星的太阳能电池板延伸，将其转动惯量增加到 $30,000 kg \cdot m^2$ ．卫星现在旋转的速度有多快?

可能的答案:

每3分钟旋转一次

每分钟旋转1次

每分钟转3圈

每9分钟转1圈

每分钟转9圈

正确答案:

每3分钟旋转一次

解释：

角动量的公式是

$L=I\omega$

在哪里

=角动量

=惯性矩

$\omega$ =角速度

角速度定义为

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

卫星初始周期为1分钟，因此:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60s} = 0.105s^{-1}$

代入这个，我们可以解出初始角动量

$L=(10000 kg \cdot m^2)(0.105s^{-1}) = 1050\frac{kg \cdot m^2}{s}$

当艾琳将太阳能板展开后，动量是一样的(动量守恒)，但惯性矩是现在 $30,000 kg \cdot m^2$ ．因此,

$1050=(30000 kg \cdot m^2)\omega$

因此, $\omega = 0.035$

把这个代回定义中，我们得到

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

$0.035 = \frac{2\pi}{T}$

因此,

T=180s

因此，卫星现在每3分钟旋转一次。

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例子问题1:角动量

一团有质量的粘土落在旋转圆盘的质量边缘上以…的速度旋转的 $\omega _{0}$ ．得到的转速是多少 $\omega$ 是什么?

可能的答案:

$\omega = \frac{1}{4}\omega _{0}$

$\omega = 2\omega _{0}$

$\omega = \omega _{0}$

$\omega = 4\omega _{0}$

$\omega = \frac{1}{2}\omega _{0}$

正确答案:

$\omega = \frac{1}{2}\omega _{0}$

解释：

角动量总是守恒的。

$L_{initial} = L_{final}$

角动量、惯性矩和角速度的关系式为:

$L = I\omega$

转动惯量也可以写成:

I=mr^2

代入给定值求 $I_{initial}$ 而且 $I_{final}$

$I_{initial}=I_{disk} = \frac{1}{2}M_{disk}R^{2} = MR^{2}$

$I_{final}=I_{disk} + I_{blob} = \frac{1}{2}M_{disk}R^{2} + M_{blob}R^{2} = 2MR^{2}$

设初始角动量等于最终角动量，求解。

$\omega_{final} = \frac{I_{initial}}{I_{final}}\omega_{0} = \frac{1}{2}\omega_{0}$

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例子问题1:角动量

弹球桨问题

水平桌面上的矩形杆如图左侧所示。该杆是铰接在一端，如图所示。它以这样一种方式旋转，它击中了一个静止的球，如图右侧所示。棒子以无摩擦的速度旋转 $40 \frac{radians}{second}$ 直到它接触到球。由于碰撞的结果，杆静止，球向右移动。棒的质量是0.2kg。球的质量是0.067千克。杆长0.15m。杆绕末端旋转的转动惯量为: $I=\frac{mL^{2}}{3}$ ．球碰撞后的速度是多少?

可能的答案:

$2\frac{m}{s}$

$4\frac{m}{s}$

$8\frac{m}{s}$

$6\frac{m}{s}$

$10\frac{m}{s}$

正确答案:

$6\frac{m}{s}$

解释：

这是一个角动量守恒的问题，所以我们设定了杆的角动量 $(L=I\omega )$ 球的等效角动量 (L=mvr)

$I\omega=mvr$

$\frac{mL^{2}}{3}\times \omega =mvr$

请注意这是长度，不是角动量。注意不要取消因为它指的是左边的杆和右边的球。最后,右边是球在撞击时刻的有效半径，所以它就是杆的长度。

$\frac{0.2kg*(0.15m)^{2}}{3}*40\frac{rad}{s}=0.067kg* v * 0.15m$

$v=6\frac{m}{s}$

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示例问题6:角动量

一颗彗星在一个遥远的星系中绕着一颗恒星运行，只有引力作用在它身上。一段时间后，太阳的辐射部分融化了彗星，使其质量下降到原来的四分之一。同时，由于轨道不规则，它与恒星的距离增加了一倍。什么表达式能最好地描述彗星的角速度，，与它的原始状态(融化/距离变化之前)相比?

可能的答案:

(1/2)v

(3/2)v

正确答案:

解释：

我们来看看这个方程 L = mvr ,在那里=角动量，=卫星质量，=角速度，和它从轨道中心的半径。由于没有外力(除了恒星的引力)作用在卫星上，我们知道它的角动量是守恒的。因此，由于它的质量除以4，它的半径翻倍，它的角速度也必须翻倍，这就是正确答案．

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示例问题7:角动量

考虑一个 30 kg 磁盘 $\left(R_d = 20 cm \right )$ 以…的角速度旋转的 $12 \frac{rad}{s}$ ．在稍后的时间，一个 15 kg 环 $\left( R_r = 14 cm \right )$ 突然放在磁盘的顶部。计算系统的新角速度。

可能的答案:

$6.46 \frac{rad}{s}$

$9.6 \frac{rad}{s}$

$8.05 \frac{rad}{s}$

$4.82 \frac{rad}{s}$

$4.02 \frac{rad}{s}$

正确答案:

$8.05 \frac{rad}{s}$

解释：

为了解决这个问题，我们将使用角动量守恒。最初我们只有一个旋转的圆盘。这给了我们关于系统初始角动量的信息。之后，我们有一个圆盘和一个环以新的角速度一起旋转。

$L_i=L_f\Rightarrow \omega_f = \omega_i \frac{I_i}{I_f}=\omega_i \frac{\frac{1}{2}M_dR_d^2}{\frac{1}{2}M_dR_d^2+M_rR_r^2}$

$\omega_f=12\frac{rad}{s}\frac{\frac{1}{2}30kg(.2m)^2}{\frac{1}{2}30kg(.2m)^2+15kg(.14m)^2}=8.05 \frac{rad}{s}$

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示例问题8:角动量

两个被距离隔开的物体的转动惯量是 $\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}d^2$

两个球，每个都有质量 66kg 是由一根无质量的长杆连接的吗 15cm 旋转着 $2\frac{rotations}{second}$ 在棒子的中点附近。然后杆然后延伸到长度 20cm ．假设动量不变且轴保持不变，确定新的转动速度。

可能的答案:

$1.125\frac{rotations}{second}$

$.750\frac{rotations}{second}$

$1.0\frac{rotations}{second}$

$2.500\frac{rotations}{second}$

$4.325\frac{rotations}{second}$

正确答案:

$1.125\frac{rotations}{second}$

解释：

第一次转换成：

15cm=.15m

20cm=.20m

角动量守恒:

$I_1\omega_1=I_2 \omega_2$

其中，在本例中:

$I=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}d^2$

结合方程:

$\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}d_1^2*\omega_1=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}d_2^2*\omega_2$

代入数值，求出最终转速:

$\frac{66*66}{66+66}*.15^2*2=\frac{66*66}{66+66}*.20^2*\omega_2$

$\omega_2=1.125\frac{rotations}{second}$

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示例问题9:角动量

考虑以下系统:

末端有质量的纺丝棒

两个球形物体，A和B，被固定在一个有长度的刚性杆的末端l．这根杆被固定在一个点上，p，它位于质量之间的中点，h地面以上。杆子绕着一个用灰色描出的垂直圆圈中的定点旋转。 $\angle c$ 是杆在任何给定时间与水平的夹角( $c=0^{\circ}$ 在图中)。

杆在旋转，当它经过水平位置时，总角动量，包括两个质量，是 $20 \frac{kg\cdot m^2}{s}$ ．质量A的瞬时线速度是多少?

m_A = 5kg, m_B = 1.5kg, l = 4 m, h = 10m

$g = 10\frac{m}{s^2}$

忽略棒子的质量。

可能的答案:

$5.4\frac{m}{s}$

$0.77\frac{1}{s}$

$2.7\frac{1}{s}$

$3.2\frac{m}{s}$

$1.5\frac{m}{s}$

正确答案:

$1.5\frac{m}{s}$

解释：

既然已知了角动量，我们就用它和它的公式

$L = I\cdot w$

地点:

角动量

I =转动惯量

角速度

由于杆上有两个质量(我们忽略了杆本身的质量)，我们可以将这个表达式展开为:

$L = I_A\cdot w_A + I_B\cdot w_B$

由于质量附着在刚性杆上，并沿匀速圆周运动，我们可以说:

w_A = w_B

既然要求我们确定质量A的速度，我们用质量A的角速度来代替质量B:

$L = I_Aw_A+I_Bw_A = w_A\left ( I_A+I_B\right )$

重新排列A的角速度:

$w_A=\frac{L}{I_A+I_B}$

现在我们需要确定每个物体的转动惯量是多少。由于它们是球体，我们可以将它们视为点质量，并使用以下公式:

I=mr^2

因此，对于每个质量，我们得到:

I_A=m_Ar^2

I_B=m_Br^2

r是杆子长度的一半两个质量都相等。把这些代入方程，我们得到:

$w_A=\frac{L}{m_Ar^2+M_Br^2}=\frac{L}{r^2(m_A+m_B)}$

用杆子长度的一半代入半径，得到:

$w_A = \frac{L}{\left ( \frac{1}{2}l^2\right )(m_A+m_B)} = \frac{4L}{l^2(m_A+m_B)}$

我们知道这个方程中每个变量的值，所以我们可以解它。但首先，让我们检查一下，确保我们的单位是正确的。角速度的单位是 $\frac{1}{s}$ ：

$\frac{\frac{kg\cdot m^2}{s}}{m^2(kg+kg)}=\frac{1}{s}$

检查完毕，是时候开始了:

$w_A=\frac{4\left ( 20\frac{kg\cdot m^2}{s}\right )}{(4m)^2(5kg+1.5kg)}=0.769\frac{1}{s}$

然后我们可以用角速度的表达式得到线速度:

$w_A = \frac{v_A}{r}$

$v_A = w_Ar=w_A\left ( \frac{1}{2}l\right )$

$v_A = 0.769\frac{1}{s}\left ( \frac{1}{2}4m\right )=1.5\frac{m}{s}$

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例子问题1:角动量

考虑以下系统:

末端有质量的纺丝棒

两个球形物体，A和B，被固定在一个有长度的刚性杆的末端l．这根杆被固定在一个点上，p，这是一个高度，h地面以上。杆子绕着一个用灰色描出的垂直圆圈中的定点旋转。 $\angle c$ 为杆的L边在任何给定时间与水平线的夹角( $c=0^{\circ}$ 在图中为负值，如果质量A高于水平)。

系统目前处于静止状态，所以质量A低于水平和 $\angle c = 15^{\circ}$ ．然后杆被释放，并允许自由旋转。质量B获得的最大角动量是多少?忽略空气阻力和内摩擦力

m_A= 25kg, m_B = 10kg, l = 12m

$g = 10\frac{m}{s^2}$

可能的答案:

$450\frac{kg\cdot m^2}{s}$

$1300\frac{kg\cdot m^2}{s}$

$280\frac{kg\cdot m^2}{s}$

$1100\frac{kg\cdot m^2}{s}$

$910\frac{kg\cdot m^2}{s}$

正确答案:

$1300\frac{kg\cdot m^2}{s}$

解释：

我们可以从能量守恒的表达式开始来解决这个问题:

E = U_i +K_i = U_f +K_f

由于已知系统初始处于静止状态，我们可以消去初始动能得到式(1):

U_i = U_f +K_f

从左到右展开每一项:

$U_i = mgh_i = m_Agh_{A_{i}}+m_Bgh_{B_{i}}$

我们被告知质量A保持在水平线以下15度的角度，所以我们可以用正弦函数来确定每个质量的高度。我们假设旋转的最低点的高度是0。

$sin(c^{\circ})=\frac{d}{r}$

其中d是低于水平的垂直距离，r是到杆子中心的半径，这个距离等于杆子长度的一半:

$sin(c^{\circ})=\frac{d}{\frac{1}{2}l}=\frac{2d}{l}$

重新排列d:

$d=\frac{sin(c^{\circ})l}{2}=\frac{sin(15^{\circ})12}{2}$

d=1.55m

我们知道这是质量A开始时的水平下方距离和质量B开始时的水平上方距离。同样，水平是指在我们的参考高度之上半杆的高度，所以我们可以说:

$h_{A_{i}}=\frac{1}{2}l-d$

$h_{B_{i}}=\frac{1}{2}l+d$

将这些代入初始势能展开式，得到:

$m_Ag\left ( \frac{1}{2}l-d \right )+m_Bg\left ( \frac{1}{2}l+d \right )$

下面来看最终势能:

$U_f = mgh_f = m_Agh_{A_{f}}+m_Bgh_{B_{f}}$

我们被要求找出质量B所获得的最大角动量。这发生在质量B以它的最高速度运动时，也就是两个质量中较大的质量A经过旋转的最低点时。这意味着质量A的高度为0，因此没有最终势能。我们可以说:

$U_f = m_Bgh_{B_{f}}$

同时，我们知道质量B在旋转的最高点，这意味着它的高度是杆的长度。因此，我们可以说:

U_f = m_Bgl

再看最终动能:

$K_f = \frac{1}{2}mv_f^2 = \frac{1}{2}v_f^2(m_A+m_B)$

我们不需要展开速度项因为两个质量总是以相同的速度运动。

现在，将展开项代回到表达式(1)中，我们得到:

$m_Ag\left ( \frac{1}{2}l-d \right )+m_Bg\left ( \frac{1}{2}l+d \right ) = m_Bgl +\frac{1}{2}v_f^2(m_A+m_B)$

为了确定角动量，我们需要解出最终速度的方程，所以让我们开始重新排列:

$\frac{1}{2}v_f^2(m_A+m_B) = m_Ag\left ( \frac{1}{2}l-d \right )+m_Bg\left ( -\frac{1}{2}l+d \right )$

$\frac{1}{2}v_f^2(m_A+m_B) = m_Ag\left ( \frac{1}{2}l-d \right )-m_Bg\left ( \frac{1}{2}l-d \right )$

$\frac{1}{2}v_f^2(m_A+m_B) = g\left ( \frac{1}{2}l-d \right )(m_A-m_B)$

$v_f^2= \frac{2g\left ( \frac{1}{2}l-d \right )(m_A-m_B)}{(m_A+m_B) }$

$v_f= \sqrt{\frac{g\left (l-2d \right )(m_A-m_B)}{(m_A+m_B) }}$

我们拥有所有这些价值，所以是时候开始了:

$v_f = \sqrt{\frac{\left ( 10\frac{m}{s^2}\right )(12m-3.11m)(25kg-10kg)}{(25kg+10kg)}}$

$v_f=6.17\frac{m}{s}$

这是质量B所经历的最大速度。我们现在可以使用角动量的表达式:

$L_f = I\cdot w_f$

地点:

I = mr^2

$w_f=\frac{v_f}{r}$

r是杆子长度的一半:

$I = (m_A+m_B)\left ( \frac{1}{2}l\right )^2$

$w_f = \frac{v_f}{\frac{1}{2}l}$

$L_f =(m_A+m_B)\left ( \frac{1}{2}l\right )^2\frac{v_f}{\frac{1}{2}l}$

$L_f = (m_A+m_B)\left ( \frac{1}{2}l\right )v_f$

我们拥有所有这些价值，所以是时候开始了:

$L_f =(25kg + 10kg)\left ( \frac{1}{2}(12m)\right )\left ( 6.17\frac{m}{s}\right )$

$L_f = 1300\frac{kg\cdot m^2}{s}$

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