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AP微积分BC:几何级数

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例子问题

例子问题1:几何级数

考虑: $\sum_{n=0}^{\infty} \left (\frac{\sqrt 2}{2}\right )^n$ ．级数是收敛还是发散?如果收敛，它覆盖到哪里?

可能的答案:

$2+\sqrt2$

$\sqrt{2}-2$

$2-\sqrt{2}$

Diverge

$\sqrt{2}$

正确答案:

$2+\sqrt2$

解释：

这是一个几何级数。用下面的公式，其中级数的第一项，和这个比值必须小于1。如果大于1，级数发散。

$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{\sqrt2}{2}}= \frac{1}{\frac{2-\sqrt2}{2}} = \frac{2}{2-\sqrt2}$

分母合理化。

$\frac{2}{2-\sqrt2} \cdot \frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2} = \frac{2(2+\sqrt2)}{4-2}= 2+\sqrt2$

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例子问题1:几何级数

考虑下面的总结: $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$ ．它是收敛的还是发散的?如果它收敛，它在哪里趋近?

可能的答案:

1.35

$\frac{4}{3}$

$\frac{7}{4}$

Diverges

1.33

正确答案:

$\frac{4}{3}$

解释：

这个问题可以用求和符号重新转换，可以看出这是几何的。

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...=\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \frac{1}{4} \right )^n$

由于比值小于1，级数收敛。几何级数公式为:

$\frac{a}{1-r}$

在哪里第一项，和是公比。代入这些值并求解。

$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

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例子问题3:几何级数

蚯蚓白天爬上墙，晚上慢慢滑下来。第一天，虫子爬上了一米的墙。第一天晚上，蠕虫会向下滑动三分之一米。第二天，蠕虫恢复了失去的前进距离的三分之一，并沿着第二晚恢复的距离的三分之一下滑。这种运动模式还在继续……

下面哪一个是表示蠕虫经过的距离的几何和12小时的运动周期?(假设白天和黑夜都是12小时)。

可能的答案:

$1+ \sum_{k=0}^{n} (\frac{-1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{n} (\frac{1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{-1}{3})^{k}$

$1+\sum_{k=1}^{n} (\frac{-1}{3})^{k}$

正确答案:

$\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{-1}{3})^{k}$

解释：

总和必须是交替的，在一个周期后，你应该有1m的蠕虫。两个周期后，蜗杆应该在2/3米。只有一个和是正确的。

报告错误

问题4:几何级数

确定下列级数是收敛的还是发散的。如果它收敛，它收敛于什么?

$\sum_{n=0}^{\infty}(2)^{-2n}$

可能的答案:

$\frac{4}{3}$

Diverges

$\frac{3}{4}$

正确答案:

$\frac{4}{3}$

解释：

首先，我们将级数化简为更简单的形式。

$\sum_{n=0}^{\infty}(2)^{-2n}= \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^{2n}= \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{4})^{n}$

我们知道这个级数收敛是因为

$\lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{1}{4})^{n}=0$

根据等比级数定理，这个级数的和可以由

$\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{4})^{n}= \frac{(\frac{1}{4})^0}{1-\frac{1}{4}}= \frac{4}{3}$

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例子问题1:几何级数

用下列值计算几何级数的和: n=15 ， $a_{1}=4$ ， $r=\frac{1}{3}$ ．将答案四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

正确答案:

解释：

这是一个几何级数。

几何级数的和可以用以下公式计算:

$S_{n} = \frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$ ，其中n是要求和的项数，r是公比，和 $a_{1}$ 是第一项的值。

对于这个问题，我们已经得到了所有我们需要的信息。

解决方案:

$S_{15}=\frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$

$S_{15}=\frac{4*(1-(\frac{1}{3})^{15})}{1-\frac{1}{3}}$

$S_{15}=\frac{4*3(1-\frac{1}{3^{15}})}{2}$

$S_{15}=6*(1-\frac{1}{3^{15}})$

$S_{15}=5.999...$

舍入, $S_{15}=6$

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例子问题1:常数级数

计算以下几何级数的前16项的和，四舍五入到最接近的整数: 6+12.6+26.46+116.6886+245.04606...

可能的答案:

780300

780305

780310

780295

正确答案:

780305

解释：

这是一个几何级数。

几何级数的和可以用以下公式计算:

$S_{n} = \frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$ ，其中n是要求和的项数，r是公比，和 $a_{1}$ 是第一项的值。

我们有 $a_{1}$ n，我们只需要在计算和之前求出r。

解决方案:

$a_{1}=6$

$r=\frac{a_{2}}{a_{1}}$

$r=\frac{12.6}{6} = 2.1$

$S_{16}=\frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$

$S_{16}=\frac{6*(1-2.1^{16})}{1-2.1}$

$S_{16}=780305$

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示例问题7:几何级数

用下列值计算几何级数的和:

n=10 ， $a_{1}=11$ ， $r=\frac{2}{20}$ ，

四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

正确答案:

解释：

这是一个几何级数。

几何级数的和可以用以下公式计算:

$S_{n} = \frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$ ，其中n是要求和的项数，r是公比，和 $a_{1}$ 是第一项的值。

对于这个问题，我们已经得到了所有我们需要的信息。

解决方案:

$S_{10}=\frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$

$S_{10}=\frac{11*(1-(\frac{2}{20})^{10})}{1-\frac{2}{20}}$

$S_{10}=\frac{11*(1-(\frac{1}{10})^{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{11*10*(1-\frac{1}{10^{10}})}{9}$

$S_{10}=\frac{110}{9}(1-\frac{1}{10^{10}})$

$S_{10}=12.2222...$

舍入, $S_{10}=12$

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