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AP微积分BC:常数级数

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例子问题

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例子问题1:几何级数

考虑: $\sum_{n=0}^{\infty} \left (\frac{\sqrt 2}{2}\right )^n$ ．级数是收敛的还是发散的?如果收敛，它覆盖到哪里?

可能的答案:

$2+\sqrt2$

$\sqrt{2}-2$

$2-\sqrt{2}$

Diverge

$\sqrt{2}$

正确答案:

$2+\sqrt2$

解释：

这是一个几何级数。使用下面的公式，其中级数的第一项，和一定小于1的比值。如果大于1，表示级数发散。

$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{\sqrt2}{2}}= \frac{1}{\frac{2-\sqrt2}{2}} = \frac{2}{2-\sqrt2}$

使分母合理化。

$\frac{2}{2-\sqrt2} \cdot \frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2} = \frac{2(2+\sqrt2)}{4-2}= 2+\sqrt2$

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例子问题1:几何级数

考虑下面的总结: $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$ ．它是收敛还是发散?如果它收敛，它在哪里趋近?

可能的答案:

1.33

1.35

$\frac{4}{3}$

Diverges

$\frac{7}{4}$

正确答案:

$\frac{4}{3}$

解释：

这个问题可以用求和符号重新转换，可以看到这是几何的。

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...=\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \frac{1}{4} \right )^n$

由于比值小于1，这个级数会收敛。几何级数的公式为:

$\frac{a}{1-r}$

在哪里第一项，和是公比。代入这些值并求解。

$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

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示例问题3:几何级数

虫子白天爬上墙，晚上慢慢地滑下来。第一天，蚯蚓爬了1米高的墙。第一天晚上，蠕虫会滑下三分之一米。第二天，蠕虫恢复了失去的三分之一的进度，并在第二天晚上恢复了三分之一的距离。这种运动模式还在继续……

下列哪项是代表蠕虫之后所走距离的几何和12小时的运动周期?(假设白天和晚上都是12小时)。

可能的答案:

$1+ \sum_{k=0}^{n} (\frac{-1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{n} (\frac{1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{k}$

$\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{-1}{3})^{k}$

$1+\sum_{k=1}^{n} (\frac{-1}{3})^{k}$

正确答案:

$\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{-1}{3})^{k}$

解释：

和必须是交替的，一个周期后你应该有1米的蠕虫。两个周期后，蠕虫应该在2/3m。只有一种求和是对的。

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示例问题4:几何级数

确定下面的级数是收敛还是发散的。如果它收敛，它收敛于什么?

$\sum_{n=0}^{\infty}(2)^{-2n}$

可能的答案:

$\frac{4}{3}$

Diverges

$\frac{3}{4}$

正确答案:

$\frac{4}{3}$

解释：

首先，我们把级数化简为更简单的形式。

$\sum_{n=0}^{\infty}(2)^{-2n}= \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^{2n}= \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{4})^{n}$

我们知道这个级数收敛是因为

$\lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{1}{4})^{n}=0$

根据几何级数定理，这个级数的和由

$\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{4})^{n}= \frac{(\frac{1}{4})^0}{1-\frac{1}{4}}= \frac{4}{3}$

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例子问题1:几何级数

用以下值计算一个几何级数的和: n=15 ， $a_{1}=4$ ， $r=\frac{1}{3}$ ．把答案四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

正确答案:

解释：

这是一个几何级数。

几何级数的和可以用下面的公式计算，

$S_{n} = \frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$ ，其中n是要相加的项数，r是公比，和 $a_{1}$ 是第一项的值。

对于这个问题，我们已经得到了我们需要的所有信息。

解决方案:

$S_{15}=\frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$

$S_{15}=\frac{4*(1-(\frac{1}{3})^{15})}{1-\frac{1}{3}}$

$S_{15}=\frac{4*3(1-\frac{1}{3^{15}})}{2}$

$S_{15}=6*(1-\frac{1}{3^{15}})$

$S_{15}=5.999...$

舍入, $S_{15}=6$

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示例问题6:几何级数

计算以下几何级数的前16项的和，四舍五入到最接近的整数: 6+12.6+26.46+116.6886+245.04606...

可能的答案:

780300

780305

780295

780310

正确答案:

780305

解释：

这是一个几何级数。

几何级数的和可以用下面的公式计算，

$S_{n} = \frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$ ，其中n是要相加的项数，r是公比，和 $a_{1}$ 是第一项的值。

我们有 $a_{1}$ n，我们只需要在计算和之前找到r。

解决方案:

$a_{1}=6$

$r=\frac{a_{2}}{a_{1}}$

$r=\frac{12.6}{6} = 2.1$

$S_{16}=\frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$

$S_{16}=\frac{6*(1-2.1^{16})}{1-2.1}$

$S_{16}=780305$

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示例问题7:几何级数

用以下值计算一个几何级数的和:

n=10 ， $a_{1}=11$ ， $r=\frac{2}{20}$ ，

四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

正确答案:

解释：

这是一个几何级数。

几何级数的和可以用下面的公式计算，

$S_{n} = \frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$ ，其中n是要相加的项数，r是公比，和 $a_{1}$ 是第一项的值。

对于这个问题，我们已经得到了我们需要的所有信息。

解决方案:

$S_{10}=\frac{a_{1}*(1-r^n)}{1-r}$

$S_{10}=\frac{11*(1-(\frac{2}{20})^{10})}{1-\frac{2}{20}}$

$S_{10}=\frac{11*(1-(\frac{1}{10})^{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{11*10*(1-\frac{1}{10^{10}})}{9}$

$S_{10}=\frac{110}{9}(1-\frac{1}{10^{10}})$

$S_{10}=12.2222...$

舍入, $S_{10}=12$

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例子问题1:带误差界的交替级数

确定下列级数是否收敛或发散:

$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n(\frac{5}{n})$

可能的答案:

级数发散了

级数(绝对)是收敛的

级数是有条件收敛的

级数可以(绝对)收敛、发散或有条件地收敛

正确答案:

级数(绝对)是收敛的

解释：

给定简级数，我们可以说级数是发散的。然而，我们已经给出了交变谐波级数。为了确定这个级数是收敛还是发散，我们必须使用交替级数检验。

这个检验说明对于一个给定的级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}$ 在哪里 $a_{n}=(-1)^n(b_{n})$ 或 $a_{n}=(-1)^{n+1}(b_{n})$ 在哪里 $b_{n}\geq0$ 对于所有n，如果 $\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0$ 而且 $b_{n}$ 是递减序列吗 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}$ 是收敛的。

首先，我们必须评估的限度 $b_{n}$ 当n趋于无穷时:

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{n}=5\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{n}(\frac{n^-1}{1})=0$

极限等于零是因为当n趋于无穷时分数的分子等于零。

接下来，我们必须确定是否 $b_{n}$ 是一个递减序列。 $\frac{1}{n}< \frac{1}{n+1}$ ，因此序列是递减的。

因为测试的两个部分都通过了，所以级数(绝对)收敛。

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问题41:系列的类型

确定是否

$\small \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin\frac{1}{n}$

收敛或发散，并解释原因。

可能的答案:

收敛的 $\small p$ 系列测试。

还需要进行更多的测试。

收敛的，通过交替级数检验。

根据比较检验，是发散的。

发散性，通过散度测试。

正确答案:

收敛的，通过交替级数检验。

解释：

我们可以用交替级数检验来证明这一点

$\small \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin\frac{1}{n}$

是收敛的。

我们必须有 $\small \sin \frac{1}{n}\geq 0$ 为 $\small n\geq 1$ 为了使用这个测试。这很容易看出，因为 $\small \frac{1}{n}$ 是在 $\small \small \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 对所有 $\small n\geq 1$ (该序列的值为 $\small 1,1/2,1/3,1/4,...$ )，当sin的参数为in时，sin总是非零的 $\small \small \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ ．

现在我们必须证明这一点

1. $\small \small \lim_{n\to\infty} \sin \frac{1}{n}=0$

2. $\small \sin \frac{1}{n}$ 是一个递减序列。

的极限

$\small \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$

意味着

$\small \small \small \lim_{n\to\infty} \sin \frac{1}{n}=\sin 0=0$

第一个条件满足。

我们可以证明 $\small \small \small \sin \frac{1}{n}$ 是通过求导并证明小于来递减的吗 $\small 0$ 为 $\small n\geq 1$ ：

$\small \small \small \small \small \frac{d}{dn}\sin \frac{1}{n}=-\frac{1}{n^2}\cos\frac{1}{n}$

导数小于 $\small 0$ ,因为 $\small -\frac{1}{n^2}$ 总是小于 $\small 0$ ，而且 $\small \cos \frac{1}{n}$ 是阳性的 $\small n\geq 1$ ，使用了我们用来证明的类似论证 $\small \small \sin \frac{1}{n}\geq 0$ 为 $\small n\geq 1$ ．因为导数小于 $\small 0$ ， $\small \small \small \sin \frac{1}{n}$ 是一个递减序列。现在我们已经证明了这两个条件是满足的，所以我们已经证明了

$\small \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin\frac{1}{n}$

通过交替级数检验，是收敛的。

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例子问题2:带误差界的交替级数

对于这个系列: $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{n^n}{8^n})$ ，确定级数是收敛还是发散。如果有分歧，选择最好的理由。

可能的答案:

$\textup{Converge, since}\lim_{n \to \infty}x_n\neq 0.$

$\textup{Diverges, since the terms are not progressively decreasing}.$

$\textup{Converge, since all Alternating Series Test rules are satisfied.}$

$\textup{Diverges, by the Geometric Series Test.}$

$\textup{Diverge, since}\lim_{n \to \infty}x_n\neq 0.$

正确答案:

$\textup{Diverge, since}\lim_{n \to \infty}x_n\neq 0.$

解释：

给出的级数是一个交替级数。

写出交替级数检验中满足收敛性的三条规则。

为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} x_n= x_1-x_2+x_3-x_4+...$ ：

$\textup{1. All the } x_n \textup{ terms are positive.}$

$\textup{2. The terms must be decreasing: } x_n \geq x_{n+1}$

$\textup{3. The limit }\lim_{n \to \infty}x_n=0.$

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{n^n}{8^n})=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{n}{8})^n$

第一和第二个条件是满足的，因为这两项是正的，并且在每一项之后递减。

然而，第三个条件不成立，因为 $\lim_{n \to \infty}x_n\neq 0$ 而是趋于无穷。

正确答案是:

$\textup{Diverge, since}\lim_{n \to \infty}x_n\neq 0.$

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