现在就打电话建立辅导:

(888) 888 - 0446

AP微积分BC:参数函数、极坐标函数和向量函数的导数

学习AP微积分BC的概念，示例问题和解释

创建帐户制作测试和抽认卡

所有AP微积分BC资源

2诊断测试 86练习测试每日问题抽认卡通过概念学习

例子问题

←之前 1 2 下一个→

例子问题1:参数函数，极坐标函数和向量函数的导数

求下列参数方程的导数:

x=2t^3+5t^2-11t+3

y=7t^2-4t-18

可能的答案:

$\frac{5t^2+6t+3}{2t-11}$

$\frac{t^2-7t+8}{6t-2}$

$\frac{4(3t+4)}{2t^2+4t-3}$

$\frac{-14t+1}{8t^2+5t-2}$

$\frac{2(7t-2)}{6t^2+10t-11}$

正确答案:

$\frac{2(7t-2)}{6t^2+10t-11}$

解释：

我们先求x和y对t的导数，因为这两个方程都是用这个变量表示的

$\frac{dx}{dt}=6t^2+10t-11$

$\frac{dy}{dt}=14t-4$

问题要求我们求参数方程dy/dx的导数，从下面的工作中我们可以看出，当我们用dy/dt除以dx/dt时，dt项被消去了，只剩下dy/dx:

$\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dx}$

现在我们知道了dx/dt和dy/dt，我们要做的就是求参数方程的导数就是用dy/dt除以dx/dt

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{14t-4}{6t^2+10t-11}=\frac{2(7t-2)}{6t^2+10t-11}$

报告错误

示例问题9:参数的导数

解出 $\frac{dy}{dx}$ 如果 x=2t-5 而且 y=3t+8 ．

可能的答案:

$\frac{3}{2}$

以上都不是

$\frac{2}{3}$

$-\frac{3}{2}$

$-\frac{2}{3}$

正确答案:

$\frac{3}{2}$

解释：

我们可以确定 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ 自这些项在除法过程中会消掉。

自 x=2t-5 而且 y=3t+8 ，我们可以用幂法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ 获得

$\frac{dx}{dt}=(1)2t^{1-1}-(0)5=2$ 而且 $\frac{dy}{dt}=(1)3t^{1-1}+(0)8=3$ ．

因此:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{3}{2}}$ ．

报告错误

例子问题1:参数函数，极坐标函数和向量函数的导数

求下列极坐标方程的导数:

$r=3+8sin\theta$

可能的答案:

$\frac{8cos\theta sin^2\theta+3cos^2\theta }{4cos^2\theta+3sin\theta-6sin^2\theta}$

$\frac{8cos\theta sin\theta+3sin\theta }{4sin^2\theta-3sin\theta-8cos^2\theta}$

$\frac{16sin^2\theta+3cos\theta }{8cos^2\theta-3cos\theta-8sin^2\theta}$

$\frac{16cos\theta sin\theta+3cos\theta }{8cos^2\theta-3sin\theta-8sin^2\theta}$

$\frac{8cos\theta sin\theta-6cos\theta }{4cos^2\theta+6sin\theta+3sin^2\theta}$

正确答案:

$\frac{16cos\theta sin\theta+3cos\theta }{8cos^2\theta-3sin\theta-8sin^2\theta}$

解释：

求极坐标方程dy/dx的导数的第一步是求r对的导数 $\theta$ ．这给了我们:

$\frac{dr}{d\theta}=8cos\theta$

现在我们知道了dr/d $\theta$ ，我们可以将这个值代入极坐标形式的导数方程:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dr}{d\theta}sin\theta+rcos\theta }{\frac{dr}{d\theta }cos\theta-rsin\theta }=\frac{8cos\theta sin\theta+(3+8sin\theta )cos\theta}{8cos^2\theta-(3+8sin\theta)sin\theta }$

简化方程，我们得到r的导数的最终答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{16cos\theta sin\theta +3cos\theta }{8cos^2\theta -3sin\theta -8sin^2\theta }$

报告错误

例子问题1:极坐标形式的导数

求导数 $\frac{dy}{dx}$ 极坐标函数 $r(\theta)=3-4sin(\theta)$ ．

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos(\theta)sin(\theta)+(3-4sin(\theta))cos(\theta)}{-4cos^2(\theta)-(3-4sin(\theta))sin(\theta)}$

$\frac{dy}{dx}=4cos(\theta)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos(\theta)cos(\theta)+(3-4sin(\theta))sin(\theta)}{-4cos(\theta)sin(\theta)-(3-4sin(\theta))cos(\theta)}$

$\frac{dy}{dx}=-4cos(\theta)$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos(\theta)sin(\theta)+(3-4sin(\theta))cos(\theta)}{-4cos^2(\theta)-(3-4sin(\theta))sin(\theta)}$

解释：

用这个公式求极坐标函数的导数

$\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)sin(\theta)+r(\theta)cos(\theta)}{r'(\theta)cos(\theta)-r(\theta)sin(\theta)}$

唯一未知的部分是 $r'(\theta)$ ．回想一下，常数的导数是零

$\frac{d}{d\theta}sin(\theta)=cos(\theta)$ ,所以

$r'(\theta)=-4cos(\theta)$

Substiting $r'(\theta)\ and\ r(\theta)$ 把它代入导数公式，我们发现

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos(\theta)sin(\theta)+(3-4sin(\theta))cos(\theta)}{-4cos(\theta)cos(\theta)-(3-4sin(\theta))sin(\theta)}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos(\theta)sin(\theta)+(3-4sin(\theta))cos(\theta)}{-4cos^2(\theta)-(3-4sin(\theta))sin(\theta)}$

报告错误

例子问题1:极坐标形式的导数

求极坐标函数的一阶导数

$r(\theta)=sin(3\theta)$ ．

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3cos(3\theta)sin(\theta)+sin(3\theta)cos(\theta)}{3cos(3\theta)cos(\theta)-sin(3\theta)sin(\theta)}$

$\frac{dy}{dx}=3cos(3\theta)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{sin(3\theta)sin(\theta)+3cos(3\theta)cos(\theta)}{sin(3\theta)cos(\theta)-3cos(3\theta)sin(\theta)}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3sin(3\theta)cos(\theta)+cos(3\theta)sin(\theta)}{3sin(3\theta)sin(\theta)-cos(3\theta)cos(\theta)}$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3cos(3\theta)sin(\theta)+sin(3\theta)cos(\theta)}{3cos(3\theta)cos(\theta)-sin(3\theta)sin(\theta)}$

解释：

一般来说，极坐标下函数的导数可以写成

$\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)sin(\theta)+r(\theta)cos(\theta)}{r'(\theta)cos(\theta)-r(\theta)sin(\theta)}$ ．

因此，我们需要找到 $r'(\theta)$ ，然后代入 $r(\theta)\ and\ r'(\theta)$ 转化为导数公式。

找到 $r'(\theta)$ 链式法则，

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$ ，是必要的。

我们也需要知道这一点

$\frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)$ ．

因此,

$r'(\theta)=3cos(3\theta)$ ．

替换 $r(\theta)\ and\ r'(\theta)$ 转化为导数公式的收益率

$\frac{dy}{dx}=\frac{3cos(3\theta)sin(\theta)+sin(3\theta)cos(\theta)}{3cos(3\theta)cos(\theta)-sin(3\theta)sin(\theta)}$

报告错误

示例问题11:极坐标形式的导数

它的导数是什么 $r=7sin\theta-6$ ?

可能的答案:

$\frac{14cos\theta\sin\theta+6\cos\theta}{7-14\sin^{2}\theta+6\sin\theta}$

$-\frac{14cos\theta\sin\theta-6\cos\theta}{7-14\sin^{2}\theta+6\sin\theta}$

$\frac{14cos\theta\sin\theta-6\cos\theta}{7+14\sin^{2}\theta+6\sin\theta}$

$\frac{14cos\theta\sin\theta-6\cos\theta}{7-14\sin^{2}\theta-6\sin\theta}$

$\frac{14cos\theta\sin\theta-6\cos\theta}{7-14\sin^{2}\theta+6\sin\theta}$

正确答案:

$\frac{14cos\theta\sin\theta-6\cos\theta}{7-14\sin^{2}\theta+6\sin\theta}$

解释：

为了求导数 $\frac{dy}{dx}$ 一个极坐标方程 $r=7sin\theta-6$ ，我们必须先求导数关于 $\theta$ 如下:

$\frac{dr}{d\theta}=7cos\theta$

我们可以交换给定的值 $\frac{dr}{d\theta}$ 而且将表达式的导数转化为极坐标形式:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dr}{d\theta}sin\theta+rcos\theta}{\frac{dr}{d\theta}cos\theta-rsin\theta}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{7cos\theta\sin\theta+(7sin\theta-6)\cos\theta}{7cos\theta\cos\theta-(7sin\theta-6)\sin\theta}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{7cos\theta\sin\theta+7sin\theta\cos\theta-6\\cos\theta}{7cos\theta\cos\theta-7sin\theta\sin\theta+6\sin\theta}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{14cos\theta\sin\theta-6\cos\theta}{7(cos^{2}\theta-sin^{2}\theta)+6\sin\theta}$

利用三角恒等式 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ ，我们可以推断 $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ ．把这个换成分母，我们得到:

$\frac{dy}{dx}=\frac{14cos\theta\sin\theta-6\cos\theta}{7((1-\sin^{2}\theta)-sin^{2}\theta)+6\sin\theta}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{14cos\theta\sin\theta-6\cos\theta}{7(1-2\sin^{2}\theta)+6\sin\theta}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{14cos\theta\sin\theta-6\cos\theta}{7-14\sin^{2}\theta+6\sin\theta}$

报告错误

例子问题2:参数函数，极坐标函数和向量函数的导数

考虑到 $f: \mathbb{R}^{n}}\rightarrow \mathbb{R}$ ．我们将其梯度定义为:

$\nabla f =\left[\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right]$

让 $f: \mathbb{R}^{n}}\rightarrow \mathbb{R}$ 由:

$f(x_{1},x_{2},\cdots, x_{n}})=\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

的梯度是什么?

可能的答案:

$\left[\frac{2x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

$\left[\frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

$\left[\frac{x_{1}}{2\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

$\left[\frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+2x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

$\left[\frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{2x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

正确答案:

$\left[\frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

解释：

根据定义，要找到梯度向量，我们必须找到梯度分量。我们知道梯度分量是偏导数。

在我们的例子中，我们知道:

$\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=\frac{x_{i}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

要看到这一点，修正所有其他变量，并假设您只有 $x_{i}$ 作为唯一的变量。

现在我们应用给定的定义，即

$\nabla f =\left[\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right]$

$\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=\frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=\frac{x_{2}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x_{3}}=\frac{x_{3}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

$\vdots$

$\frac{\partial f}{\partial x_{n}}=\frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

这就给出了解。

报告错误

示例问题3:参数函数，极坐标函数和向量函数的导数

让 $f:\mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}$ ．

的梯度定义为:

$\nabla f =\left[\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right]$

让 $f=sin(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})$ ．

求向量梯度。

可能的答案:

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad -ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

$[x_{1}cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

正确答案:

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

解释：

我们首先注意到:

$\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})$

用链式法则 $x_{1}$ 是这里唯一的变量。

$\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=2 cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})$

用链式法则 $x_{2}$ 是这里唯一的变量。

继续以这种方式，我们有:

$\frac{\partial f}{\partial x_{n}}=ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})$

还是用链式法则，假设 $x_{n}$ 是变量，其他的都是常数。

现在应用给定的梯度定义，我们得到了所需的结果。

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

报告错误

例子问题1:向量的导数

让

$\vec{u}=(\sqrt{1+t^2},2\sqrt{1+t^2},3\sqrt{1+t^2},\cdots n\sqrt{1+t^2})$

它的导数是什么 $\vec{u}$ ?

可能的答案:

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{nt}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{nt}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{nt}{\sqrt{t+1}}\right)$

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{2t}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

正确答案:

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{nt}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

解释：

为了求出这个向量的导数，我们要做的就是对每个分量对t求导。

微分时使用幂法则和链式法则。

$(\sqrt{1+t^2})dt=(1+t^2)^\frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}(1+t^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2t=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$ 是第一个分量的导数。

$(2\sqrt{1+t^2})dt=2(1+t^2)^\frac{1}{2}dt=2\frac{1}{2}(1+t^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2t=\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}}$ 第二组分的。

$\vdots$

$(n\sqrt{1+t^2})dt=n(1+t^2)^\frac{1}{2}dt=n\frac{1}{2}(1+t^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2t=\frac{nt}{\sqrt{t^2+1}}$ 是最后一个分量的导数。我们得到:

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{nt}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

报告错误

问题71:导数的计算

$\newline {\vec{r}(t)} = (3e^t+t^3,e^{2t}+t,9e^t+e^{2t})\newline \textnormal{Calculate } \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)}$

可能的答案:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (3e^t,2e^{2t},9e^t)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (3t^2,0,9e^t+2e^{2t})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (3,2e^t,2e^{2t})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (3e^t+3t^2,2e^{2t}+1,9e^t+2e^{2t})$

正确答案:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (3e^t+3t^2,2e^{2t}+1,9e^t+2e^{2t})$

解释：

一般来说:

如果 $\newline \ {\vec{r}(t)} = (f(t),g(t),z(t))$ ，

然后 $\newline \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}f(t), \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}g(t),\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}z(t))$

这里需要的派生规则:

对一项求导，或使用幂法则，可以通过以下方法实现: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} t^n = n * t^{n-1}$
当求和的导数时，用求和规则求值，该规则规定求和的导数等于每一项导数的和: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(t^n+10) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}t^n + \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}10 = n*t^{n-1}$
对指数函数求导的特殊规则: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} e^{kt} = ke^{kt}$ ， k是一个常数。

在这个问题中， ${\vec{r}(t)} = ((3e^t + t^3),(e^{2t} + t),(9e^t+e^{2t}))$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(3e^t + t^3)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}3e^t + \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}t^3 = 3e^t + 3t^2$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(e^{2t} + t)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}e^{2t}+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}t =2e^{2t} + 1$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(9e^t+e^{2t})= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}9e^t + \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}e^{2t} = 9e^t + 2e^{2t}$

把这些放在一起 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\vec{r}(t)} = (3e^t + 3t^2,2e^{2t} + 1,9e^t + 2e^{2t})$

报告错误

←之前 1 2 下一个→

查看AP Calculus BC Tutors

阿隆索
认证导师

杜鲁门州立大学理学学士，主修数学，辅修统计学。

查看AP Calculus BC Tutors

杨晨
认证导师

堪萨斯大学数学教师教育理学学士学位。圣路易斯玛丽维尔大学理学硕士

查看AP Calculus BC Tutors

Yvan
认证导师

杨百翰大学，理学学士，数学教师教育。

所有AP微积分BC资源

2诊断测试 86练习测试每日问题抽认卡通过概念学习

受欢迎的科目

迈阿密的物理导师，华盛顿特区的GRE导师，圣地亚哥的物理导师，费城的西班牙语导师，费城的阅读导师，休斯顿的GMAT导师，纽约的阅读导师，西雅图的微积分老师，迈阿密的LSAT导师，芝加哥的SAT辅导老师

流行的考试准备

在凤凰城进行SSAT考试准备，在凤凰城进行LSAT考试准备，在达拉斯沃斯堡进行ACT考试准备，在达拉斯沃斯堡的GRE考试准备，在休斯顿进行ACT考试准备，位于达拉斯沃斯堡的ISEE考试准备中心，西雅图的LSAT考试准备中心，费城ISEE考试准备中心，费城的SSAT考试预科学校，在洛杉矶进行ACT考试准备

DMCA的抱怨

如果您认为通过本网站提供的内容(定义见我们的服务条款)侵犯了您的一项或多项版权，请向以下指定代理提供包含以下信息的书面通知(“侵权通知”)，以通知我们。如果校导师对侵权通知采取了行动，它将通过该方提供给校导师的最新电子邮件地址(如果有的话)，善意地尝试联系提供该内容的一方。

您的侵权通知可能被转发给提供内容的一方或ChillingEffects.org等第三方。

请注意，如果您对产品或活动侵犯您的版权进行了实质性的虚假陈述，您将承担损害赔偿(包括费用和律师费)的责任。因此，如果您不确定本网站所载或链接的内容侵犯了您的版权，您应考虑首先与律师联系。

请按以下步骤递交通知书:

你必须包括以下内容:

版权所有人或被授权代表其行事的人的实体或电子签名;对被主张侵权的版权的认定;对你声称侵犯版权的内容的性质和确切位置的描述，要有足够的细节，以允许校导师找到并积极识别该内容;例如，我们需要一个指向特定问题的链接(而不仅仅是问题的名称)，其中包含内容和对问题具体部分的描述——图像、链接、文本等——你的投诉所指的是什么;你的姓名、地址、电话号码及电邮地址;以及您的声明:(A)您善意地相信，使用您声称侵犯您版权的内容未得到法律、版权所有人或该版权所有人的代理的授权;(b)您的侵权通知中包含的所有信息都是准确的，以及(c)在作伪证的情况下，您是版权所有人或被授权代表他们行事的人。

将投诉寄交本署指定代理人:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
汉利南道101号300室
密苏里州圣路易斯63105

或者填写下面的表格:

不填写这个字段

联系信息

＊法定全称

公司名称

＊电话号码

＊电子邮件地址

地址

＊Address1

Address2

＊城市

＊状态

＊Zipcode

＊国家

投诉细节

你所代表的版权持有人(如果不是你本人)

＊受版权保护作品的URL(你的原始素材所在的位置)

＊请描述受版权保护的作品，以便于识别

我是所有者，或者是被授权代表据称被侵犯的专有权所有者采取行动的代理人。

这个通知是准确的。

我承认，使用这一程序进行虚假或恶意的版权侵权指控可能会产生不利的法律后果。

＊签名(您的数字签名具有法律约束力)

高中

研究生院

学习

搜索50+测试

数学辅导

科学辅导

外语

小学辅导

其他

搜索350+主题

AP微积分BC:参数函数、极坐标函数和向量函数的导数

学习AP微积分BC的概念，示例问题和解释

所有AP微积分BC资源

例子问题

例子问题1:参数函数，极坐标函数和向量函数的导数

示例问题9:参数的导数

例子问题1:参数函数，极坐标函数和向量函数的导数

例子问题1:极坐标形式的导数

例子问题1:极坐标形式的导数

示例问题11:极坐标形式的导数

例子问题2:参数函数，极坐标函数和向量函数的导数

示例问题3:参数函数，极坐标函数和向量函数的导数

例子问题1:向量的导数

问题71:导数的计算

所有AP微积分BC资源

报告这个问题的问题

DMCA的抱怨

联系信息

地址

投诉细节

找到最好的导师

电子邮件地址:
你的名字:
反馈: