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AP微积分BC:极限的连续性

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例子问题

问题1:极限方面的连续性

Rational_graph

上图是该函数的简图。间隔是什么连续的吗?

可能的答案:

$(-\infty, \infty)$

$(-2, 2) \cup \(2, \infty)$

$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup \(2, \infty)$

$(-\infty, -2) \cup \(2, \infty)$

$(-\infty, -2) \cup (-2, 2)$

正确答案:

$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup \(2, \infty)$

解释：

一个函数在某一点连续， f(a) 必须存在并且 $\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)$ 。

的所有值都成立除了 x=-2 和 x=2 。

因此，连续性的区间为 $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup \(2, \infty)$ 。

问题1:连续性

考虑分段函数:

$y=\left\{\begin{matrix} 1;\: x<-5\\0;\:x>-5 \end{matrix}\right.$

是什么 $\lim_{x \to -5}$ ？

可能的答案:

极限不存在。

$\frac{1}{2}$

0<x<1

正确答案:

极限不存在。

解释：

分段函数

$\left\{\begin{matrix} 1;\: x<-5\\0;\:x>-5 \end{matrix}\right.$

表明是1小于5，如果变量大于5，则为0。在 x=-5 在裂口的末端有一个洞。

极限并没有指明我们是要从左边求极限还是从右边求极限，这意味着需要从左边和右边求极限。从左到右，极限趋近于1接近- 5。从右边开始，极限趋近于0接近- 5。

因为极限不重合，所以极限不存在 $\lim_{x \to -5}$ 。

问题1:极限与连续性

考虑函数 $f(x)=\frac{x^2-7x+12}{x-3}$ 。

关于这个函数，下列哪个陈述是正确的?

我。 $f(x)\ is\ continuous\ at\ x = 3.$

2 $\lim_{x\to3}f(x)=-1$

3 $\lim_{x\to3}f(x)\ does\ not\ exist$

可能的答案:

I和II

二只

第三只

I和III

正确答案:

I和II

解释：

对于一个函数在某一点连续，函数在该点的极限必须等于函数在该点的值。

首先，请注意

$f(3)=\frac{3^2-7(3)+12}{3-3}=\frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)}=(x-4)=(3-4)=-1$ 。

这意味着函数处处连续。

接下来，我们必须计算极限。因式化简f(x)来帮助计算极限。

$f(x)=\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{(x-4)(x-3)}{(x-3)}=x-4$

$\lim_{x\to3}(x-4)=-1$

因此，x趋于3时的极限是存在的，并且等于，所以I和II是真命题。

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